Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

a) Dominio. $x(x+2) = 0 \iff x = 0$ o $x = -2$, así que$$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0\}$$Asíntotas verticales. En $x = 0$ el numerador vale $-1 \neq 0$ y en $x = -2$ vale $-3 \neq 0$, luego los límites son infinitos:$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty; \qquad \lim_{x\to -2^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to -2^+} f(x) = +\infty$$(Por ejemplo, para $x \to 0^+$: numerador $\to -1$, denominador $\to 0^+$.) Hay asíntotas verticales en $x = 0$ y $x = -2$.

Asíntota horizontal.$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x-1}{x^2 + 2x} = 0$$porque el denominador es de mayor grado. La recta $y = 0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$; por tanto, no hay asíntota oblicua.

b) Derivada. Con $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+2x}$ y la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2 + 2x) - (x-1)(2x+2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{x^2 + 2x - (2x^2 - 2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 2}{x^2(x+2)^2}$$Ceros de la derivada. El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $-x^2 + 2x + 2$:$$-x^2 + 2x + 2 = 0 \iff x^2 - 2x - 2 = 0 \iff x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$Es decir, $x_1 = 1 - \sqrt{3} \approx -0{,}73$ y $x_2 = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}73$.

Signo de $f'$. $-x^2 + 2x + 2$ es una parábola hacia abajo: positiva entre sus raíces y negativa fuera. Ordenando los puntos críticos y los excluidos, $-2 < 1 - \sqrt{3} < 0 < 1 + \sqrt{3}$:(Comprobación con valores: $f'(-3) < 0$, $f'(-1) = \frac{-1-2+2}{1} = -1 < 0$, $f'(-0{,}5) > 0$, $f'(1) > 0$, $f'(3) < 0$.)

Hay un mínimo relativo en $x = 1 - \sqrt{3}$ y un máximo relativo en $x = 1 + \sqrt{3}$.

c) Descomposición en fracciones simples.$$\frac{x - 1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} \iff x - 1 = A(x+2) + Bx$$Con $x = 0$: $-1 = 2A$, $A = -\dfrac{1}{2}$. Con $x = -2$: $-3 = -2B$, $B = \dfrac{3}{2}$. Así$$f(x) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+2}$$Integramos cada término (inmediatas de tipo logaritmo):$$\int f(x)\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x| + \frac{3}{2}\ln|x+2| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{(x+2)^3}{x}\right| + C$$Comprobación. Derivando: $-\dfrac{1}{2x} + \dfrac{3}{2(x+2)} = \dfrac{-(x+2) + 3x}{2x(x+2)} = \dfrac{2x - 2}{2x(x+2)} = f(x)$ ✓.