Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

a) Matriz de coeficientes y su determinante.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 1(1 - a^2) - 1(2 - a) + 1(2a - 1) = -a^2 + 3a - 2 = (1-a)(a-2)$$Se anula en $a = 1$ y $a = 2$.

Caso $a \neq 1$ y $a \neq 2$. $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3$: sistema compatible determinado, los tres planos se cortan en un punto.

Caso $a = 1$. Los planos son$$\pi_1: x + y + z = 0, \qquad \pi_2: 2x + y + z = 1, \qquad \pi_3: x + y + z = 1$$$\pi_1$ y $\pi_3$ tienen el mismo vector normal $(1, 1, 1)$ y distinto término independiente: son paralelos (distintos). $\pi_2$, de normal $(2, 1, 1)$, no es paralelo a ninguno de ellos. En rangos: $\operatorname{rg} A = 2$ y $\operatorname{rg} A^* = 3$ (sistema incompatible). Por tanto, $\pi_1 \parallel \pi_3$ y $\pi_2$ corta a los dos (en dos rectas paralelas).

Caso $a = 2$. Los planos son$$\pi_1: x + y + z = 1, \qquad \pi_2: 2x + y + 2z = 2, \qquad \pi_3: x + 2y + z = 1$$Ninguna pareja de normales es proporcional, y $\operatorname{rg} A = 2$ (por ejemplo, $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$). En la ampliada, las columnas de $x$ y de $z$ coinciden; el único menor de orden 3 que puede no anularse es el de las columnas de $x$, $y$ y términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \quad (\text{la primera y la tercera columna son iguales})$$Así que $\operatorname{rg} A^* = 2 = \operatorname{rg} A$: compatible indeterminado. Los tres planos son distintos y se cortan en una recta (forman parte de un haz de planos).

b) $a = 1$, planos $\pi_1$ y $\pi_3$. Como se ha visto en a), $\pi_1: x + y + z = 0$ y $\pi_3: x + y + z = 1$ son paralelos y distintos: el sistema que forman es incompatible ($0 = 1$ al restarlos). No existe recta de corte.

c) $a = 2$, planos $\pi_1$ y $\pi_2$. Sus normales $(1, 1, 1)$ y $(2, 1, 2)$ no son proporcionales, así que se cortan en una recta:$$r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{cases}$$Simplificamos. Restando la primera ecuación a la segunda: $x + z = 1$; llevándolo a la primera, $y = 0$:$$r: \begin{cases} x + z = 1 \\ y = 0 \end{cases} \qquad \Longleftrightarrow \qquad r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(-1, 0, 1)$$Comprobación. El director debe ser proporcional a $\vec n_1 \times \vec n_2 = (1, 1, 1)\times(2, 1, 2) = (1\cdot 2 - 1\cdot 1,\ 1\cdot 2 - 1\cdot 2,\ 1\cdot 1 - 1\cdot 2) = (1, 0, -1)$ ✓, y $(1, 0, 0)$ cumple las dos ecuaciones ✓. Además $\pi_3$ también contiene esta recta: $x + 2\cdot 0 + z = 1$ ✓, como se dedujo en a).