Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ 1 & a-1 & 2 \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a+1 & 2 \\ 1 & a-1 & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 & -1 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\big[(a-1) - 2a\big] - 1\cdot\big[1 - 4\big] + (a+1)\big[a - 2(a-1)\big] = (-a-1) + 3 + (a+1)(2-a)$$$$|A| = -a - 1 + 3 + 2a - a^2 + 2 - a = 4 - a^2 = (2-a)(2+a)$$Se anula para $a = 2$ y $a = -2$.

Caso $a \neq 2$ y $a \neq -2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 2$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y + 3z = 2 \\ x + y + 2z = 1 \\ 2x + 2y + z = -1 \end{cases}$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (columnas de $x$ y $z$), así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, las columnas de $x$ y de $y$ son iguales, de modo que basta mirar el menor formado por las columnas de $x$, $z$ y términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-2-1) - 3(-1-2) + 2(1-4) = -3 + 9 - 6 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

Caso $a = -2$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ x - 3y + 2z = 1 \\ 2x - 2y + z = -1 \end{cases}$$Con $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, el menor de las columnas de $x$, $y$ y términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 1(3+2) - 1(-1-2) + 2(-2+6) = 5 + 3 + 8 = 16 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también sumando las dos primeras ecuaciones: $2x - 2y + z = 3$, que contradice la tercera, $2x - 2y + z = -1$.

b) Compatible determinado ($a \neq \pm 2$): regla de Cramer.$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & a+1 \\ 1 & a-1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} = 2\big[(a-1) - 2a\big] - 1\big[1 + 2\big] + (a+1)\big[a + (a-1)\big] = 2a^2 - a - 6 = (2a+3)(a-2)$$$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & a+1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1+2) - 2(1-4) + (a+1)(-1-2) = 6 - 3a = 3(2-a)$$$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & a-1 & 1 \\ 2 & a & -1 \end{vmatrix} = \big[-(a-1) - a\big] - \big[-1 - 2\big] + 2\big[a - 2(a-1)\big] = 8 - 4a = 4(2-a)$$Simplificamos dividiendo entre $|A| = (2-a)(2+a)$ (el factor $2 - a$ se va):$$x = \frac{(2a+3)(a-2)}{(2-a)(2+a)} = -\frac{2a+3}{a+2}, \qquad y = \frac{3}{a+2}, \qquad z = \frac{4}{a+2}$$Comprobación en la primera ecuación: $\dfrac{-(2a+3) + 3 + 4(a+1)}{a+2} = \dfrac{2a+4}{a+2} = 2$ ✓.

Compatible indeterminado ($a = 2$). Restando la segunda ecuación a la primera: $z = 1$. Llevándolo a la segunda: $x + y = -1$ (la tercera da $2(x+y) + 1 = -1$, lo mismo). Tomando $y = \lambda$:$$x = -1 - \lambda, \qquad y = \lambda, \qquad z = 1, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Para $a = -2$ no hay solución.