Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

Enunciado

Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide

(4 + \pi)

metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:

a) Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura

y

del rectángulo. (5 puntos)

b) Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima. (5 puntos)

Campo formado por un rectángulo de base x y altura y con un semicírculo de diámetro y pegado a cada lado vertical; se pintan los dos lados horizontales, los dos lados verticales del rectángulo y los dos arcos.

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Resultado

a) Con

xy + \dfrac{\pi y^2}{4} = 4 + \pi

L(y) = \dfrac{8 + 2\pi}{y} + 2y + \dfrac{\pi y}{2}

metros, para

0 < y < 2\sqrt{(4 + \pi)/\pi}

.

b) Rectángulo de

x = 2

m por

y = 2

m (un cuadrado), con semicírculos de radio

1

m a los lados. Longitud mínima de las rayas:

8 + 2\pi \approx 14{,}28

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una optimización clásica con dos variables y una condición:

Qué se minimiza. La longitud de las rayas. Mirando la figura: los dos lados horizontales del rectángulo ( $2x$ ), sus dos lados verticales ( $2y$ , que separan el rectángulo de los semicírculos) y los dos arcos, que juntos forman una circunferencia de diámetro $y$ ( $\pi y$ ).
La condición. El área total (rectángulo más dos semicírculos, es decir, un círculo de radio $y/2$ ) vale $4 + \pi$ . De ahí se despeja $x$ en función de $y$ .
Derivar e igualar a cero, y comprobar que el punto es un mínimo.

Desarrollo

a) Área del campo. El rectángulo mide

x\cdot y

y los dos semicírculos de radio

\frac{y}{2}

forman un círculo:

xy + \pi\left(\frac{y}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi y^2}{4} = 4 + \pi

Despejamos $x$ .

x = \frac{4 + \pi - \frac{\pi y^2}{4}}{y} = \frac{4 + \pi}{y} - \frac{\pi y}{4}

Longitud de las rayas.

L = 2x + 2y + \pi y

Sustituimos $x$ .

L(y) = 2\left(\frac{4 + \pi}{y} - \frac{\pi y}{4}\right) + 2y + \pi y = \frac{8 + 2\pi}{y} + 2y + \frac{\pi y}{2}

Dominio. Hace falta

y > 0

x > 0

, es decir,

\frac{\pi y^2}{4} < 4 + \pi

0 < y < 2\sqrt{\frac{4 + \pi}{\pi}} \approx 3{,}02 \ \text{m}

b) Derivada.

L'(y) = -\frac{8 + 2\pi}{y^2} + 2 + \frac{\pi}{2}

Punto crítico.

L'(y) = 0 \iff y^2 = \frac{8 + 2\pi}{2 + \frac{\pi}{2}} = \frac{2\,(4 + \pi)}{\frac{4 + \pi}{2}} = 4 \iff y = 2 \ \ (y > 0)

Es un mínimo.

L''(y) = \frac{2\,(8 + 2\pi)}{y^3} > 0 \quad \text{para todo } y > 0

así que en

y = 2

hay un mínimo relativo, y como

L

es convexa en todo el dominio, es el mínimo absoluto.

Base del rectángulo.

x = \frac{4 + \pi}{2} - \frac{\pi\cdot 2}{4} = \frac{4 + \pi - \pi}{2} = 2

Longitud mínima.

L(2) = \dfrac{8 + 2\pi}{2} + 4 + \pi = 8 + 2\pi \approx 14{,}28

m.

Comprobación del área.

2\cdot 2 + \dfrac{\pi\cdot 4}{4} = 4 + \pi

✓.

Consejo

Lee bien la figura antes de escribir la longitud: aquí también se pintan los dos lados verticales del rectángulo, que separan la parte central de los semicírculos. Olvidar el $2y$ cambia la función y el resultado.

Al despejar $y^2$ de $L'(y) = 0$ , simplifica: $\frac{8 + 2\pi}{2 + \pi/2}$ es exactamente $4$ porque $8 + 2\pi = 2(4 + \pi)$ y $2 + \frac{\pi}{2} = \frac{4 + \pi}{2}$ . Y justifica el mínimo con la derivada segunda o con el signo de $L'$ .

Paso 1 de 3

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