Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2021 · Julio
Enunciado
Dados los puntos P(1,1,0)P(1, 1, 0), Q(2,−1,1)Q(2, -1, 1) y R(α,3,−1)R(\alpha, 3, -1) se pide:

a) La ecuación del plano que contiene a PP, QQ y RR cuando α=1\alpha = 1 y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas. (3 puntos)

b) La ecuación de la recta rr que pasa por RR cuando α=1\alpha = 1 y es paralela a la recta ss que pasa por PP y QQ. Calculad la distancia entre las rectas rr y ss. (4 puntos)

c) Los valores de α\alpha para los cuales PP, QQ y RR están alineados y la ecuación de la recta que los contiene. (3 puntos)
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Resultado
a) π:y+2z−1=0\pi: y + 2z - 1 = 0; d(O,π)=55≈0,447d(O, \pi) = \dfrac{\sqrt 5}{5} \approx 0{,}447 u.

b) r:x−11=y−3−2=z+11r: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 3}{-2} = \dfrac{z + 1}{1}; d(r,s)=56≈0,913d(r, s) = \sqrt{\dfrac{5}{6}} \approx 0{,}913 u.

c) Solo para α=0\alpha = 0; la recta es x−11=y−1−2=z1\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 1}{-2} = \dfrac{z}{1}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Todo gira alrededor del vector PQ→\overrightarrow{PQ}:
  • a) El plano por tres puntos tiene como normal el producto vectorial PQ→×PR→\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}; después, la fórmula de la distancia de un punto a un plano con el origen.
  • b) La recta rr tiene el mismo director que ss, que es PQ→\overrightarrow{PQ}. Dos rectas paralelas están a la misma distancia en todos sus puntos, así que la distancia entre ellas es la de un punto de una (RR) a la otra recta (ss).
  • c) Tres puntos están alineados cuando PQ→\overrightarrow{PQ} y PR→\overrightarrow{PR} son proporcionales.
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Desarrollo

a) Vectores del plano (con α=1\alpha = 1, R=(1,3,−1)R = (1, 3, -1)):PQ→=(1,−2,1),PR→=(0,2,−1)\overrightarrow{PQ} = (1, -2, 1), \qquad \overrightarrow{PR} = (0, 2, -1)Vector normal.n⃗=PQ→×PR→=∣i⃗j⃗k⃗1−2102−1∣=((−2)(−1)−1⋅2,  1⋅0−1⋅(−1),  1⋅2−(−2)⋅0)=(0,1,2)\vec n = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \big((-2)(-1) - 1\cdot 2,\; 1\cdot 0 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 2 - (-2)\cdot 0\big) = (0, 1, 2)Plano. y+2z+D=0y + 2z + D = 0 y, con P(1,1,0)P(1, 1, 0): 1+D=01 + D = 0, D=−1D = -1:π:y+2z−1=0\pi: y + 2z - 1 = 0Comprobación. QQ: −1+2−1=0-1 + 2 - 1 = 0 ✓; RR: 3−2−1=03 - 2 - 1 = 0 ✓.

Distancia al origen.d(O,π)=∣0+2⋅0−1∣02+12+22=15=55≈0,447 ud(O, \pi) = \frac{|0 + 2\cdot 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt 5} = \frac{\sqrt 5}{5} \approx 0{,}447 \ \text{u}b) Recta ss. Pasa por P(1,1,0)P(1, 1, 0) con director PQ→=(1,−2,1)\overrightarrow{PQ} = (1, -2, 1).

Recta rr. Pasa por R(1,3,−1)R(1, 3, -1) con el mismo director:r:x−11=y−3−2=z+11r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z + 1}{1}RR no está en ss (si lo estuviera, los tres puntos estarían alineados, y en a) han definido un plano), así que rr y ss son paralelas distintas.

Distancia entre paralelas = distancia de RR a ss:d(r,s)=d(R,s)=∣PR→×u⃗s∣∣u⃗s∣d(r, s) = d(R, s) = \frac{\left|\overrightarrow{PR}\times\vec u_s\right|}{\left|\vec u_s\right|}PR→×u⃗s=∣i⃗j⃗k⃗02−11−21∣=(2⋅1−(−1)(−2),  (−1)⋅1−0⋅1,  0⋅(−2)−2⋅1)=(0,−1,−2)\overrightarrow{PR}\times\vec u_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \big(2\cdot 1 - (-1)(-2),\; (-1)\cdot 1 - 0\cdot 1,\; 0\cdot(-2) - 2\cdot 1\big) = (0, -1, -2)d(r,s)=0+1+41+4+1=56=56=306≈0,913 ud(r, s) = \frac{\sqrt{0 + 1 + 4}}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt 5}{\sqrt 6} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}913 \ \text{u}c) Condición de alineación. Con R(α,3,−1)R(\alpha, 3, -1):PQ→=(1,−2,1),PR→=(α−1,2,−1)\overrightarrow{PQ} = (1, -2, 1), \qquad \overrightarrow{PR} = (\alpha - 1, 2, -1)Deben ser proporcionales:α−11=2−2=−11=−1\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{2}{-2} = \frac{-1}{1} = -1Las dos últimas razones ya valen −1-1; basta con α−1=−1\alpha - 1 = -1, es decir, α=0\alpha = 0. Para cualquier otro valor no están alineados.

Recta que los contiene. Por P(1,1,0)P(1, 1, 0) con director (1,−2,1)(1, -2, 1):x−11=y−1−2=z1\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{1}Comprobación. R(0,3,−1)R(0, 3, -1): −11=2−2=−11=−1\frac{-1}{1} = \frac{2}{-2} = \frac{-1}{1} = -1 ✓.
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Consejo

La distancia entre dos rectas paralelas no se calcula con el producto mixto (que da 0 porque los directores son iguales): se toma un punto de una y se halla su distancia a la otra. Antes de aplicar una fórmula, mira la posición relativa.

En c) escribe la condición de proporcionalidad completa y di que las otras dos razones ya son iguales: así queda justificado que α=0\alpha = 0 es el único valor.
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