Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

a) Determinante de $A$ (por la primera fila):$$|A| = 1\,\big(3a - (a^2 - 2)\big) - 2\,(-3 - 1) + 3\,\big(-(a^2 - 2) - a\big)$$$$|A| = -a^2 + 3a + 2 + 8 - 3a^2 - 3a + 6 = 16 - 4a^2 = -4\,(a^2 - 4)$$Valores críticos. $|A| = 0 \iff a^2 = 4 \iff a = \pm 2$.

Caso $a \neq \pm 2$. $|A| \neq 0$: $\operatorname{rg} A = 3$.

Caso $a = \pm 2$. $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg} A \le 2$. El menor de las columnas 1 y 3, filas 1 y 2, no depende de $a$:$$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 3 = 4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg} A = 2$.

b) Despejamos $C$. Con $a = 0$, $|A| = 16 \neq 0$ y $A$ es invertible:$$AC = 16I \;\Longrightarrow\; C = 16\,A^{-1} = 16\cdot\frac{1}{|A|}\operatorname{adj}(A)^t = \operatorname{adj}(A)^t$$La matriz con $a = 0$:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$Adjuntos.$$A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -12, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2$$(Comprobación del determinante: $1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 2 = 16$ ✓.)

Traspuesta de la adjunta.$$C = \operatorname{adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -12 & 2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$Comprobación.$$AC = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -12 & 2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix} = 16I \ ✓$$c) La matriz $B$.$$B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$Rango de $B$. Las filas 2 y 3 son la primera multiplicada por $-1$ y por $2$, y $B$ no es nula: $\operatorname{rg} B = 1$.

Ampliada.$$B^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & -3 & -1 \\ 2 & 4 & 6 & 2 \end{array}\right)$$Sus filas siguen siendo la primera por $1$, $-1$ y $2$ (también la columna añadida, porque es el mismo vector $(1, -1, 2)$): $\operatorname{rg} B^* = 1$.

Discusión. $\operatorname{rg} B = \operatorname{rg} B^* = 1 < 3$ incógnitas: por Rouché-Frobenius el sistema tiene solución y es compatible indeterminado (dos parámetros). Las tres ecuaciones se reducen a$$x + 2y + 3z = 1 \;\Longrightarrow\; (x, y, z) = (1 - 2\lambda - 3\mu,\ \lambda,\ \mu), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$(Una solución concreta: $x = 1$, $y = z = 0$.)