Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

a) Dominio. $x$ y $e^{1 - x^2}$ están definidas para todo real: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$.

Derivada. Por la regla del producto y la de la cadena:$$f'(x) = e^{1 - x^2} + x\cdot e^{1 - x^2}\cdot(-2x) = e^{1 - x^2}\,(1 - 2x^2)$$Puntos críticos. Como $e^{1 - x^2} > 0$ siempre,$$f'(x) = 0 \iff 1 - 2x^2 = 0 \iff x = \pm\frac{1}{\sqrt 2} = \pm\frac{\sqrt 2}{2}$$Signo de $f'$. Es el de $1 - 2x^2$, una parábola hacia abajo con raíces $\pm\frac{1}{\sqrt 2}$:Extremos relativos. En $x = -\frac{1}{\sqrt 2}$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. En $x = \frac{1}{\sqrt 2}$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. Sus valores:$$f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt 2}\right) = \frac{1}{\sqrt 2}\,e^{1 - \frac12} = \frac{\sqrt e}{\sqrt 2} = \sqrt{\frac{e}{2}} \approx 1{,}166, \qquad f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt 2}\right) = -\sqrt{\frac{e}{2}} \approx -1{,}166$$b) Asíntotas verticales. $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (producto de continuas): no tiene.

Asíntotas horizontales.$$\lim_{x \to +\infty} x\,e^{1 - x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e\,x}{e^{x^2}} = 0$$porque la exponencial $e^{x^2}$ crece mucho más deprisa que $x$ (también con L'Hôpital: $\lim \frac{e}{2x\,e^{x^2}} = 0$). Igual en $-\infty$: el límite es $0$. Asíntota horizontal $y = 0$ por los dos lados; por tanto no hay oblicuas.

Simetría. $f(-x) = -x\,e^{1 - x^2} = -f(x)$: $f$ es impar, su gráfica es simétrica respecto del origen.

Puntos de la gráfica. Solo corta a los ejes en $(0, 0)$ (la exponencial no se anula). Para $x > 0$ la función es positiva y para $x < 0$, negativa, así que se acerca a la asíntota por encima en $+\infty$ y por debajo en $-\infty$. Algunos valores: $f(1) = 1$, $f(2) = 2e^{-3} \approx 0{,}10$.

Gráfica. Viene de $0$ por debajo del eje cuando $x \to -\infty$, baja hasta el mínimo $\left(-0{,}71;\ -1{,}17\right)$, sube pasando por el origen hasta el máximo $\left(0{,}71;\ 1{,}17\right)$ y vuelve a bajar acercándose a $y = 0$ por encima. (Si se estudia la curvatura, $f''(x) = 2x\,e^{1 - x^2}(2x^2 - 3)$ da puntos de inflexión en $x = 0$ y $x = \pm\sqrt{3/2} \approx \pm 1{,}22$.)

c) Integral casi inmediata. La derivada del exponente es $(1 - x^2)' = -2x$; ajustamos la constante:$$\int x\,e^{1 - x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int (-2x)\,e^{1 - x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\,e^{1 - x^2} + C$$Comprobación. $\left(-\frac{1}{2}e^{1 - x^2}\right)' = -\frac{1}{2}\,e^{1 - x^2}\cdot(-2x) = x\,e^{1 - x^2}$ ✓.