Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2021 · Julio
Enunciado
Se dan las rectasr:{x+y−1=02x−z−1=0,s:x−11=y−1=z2r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}, \qquad s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}y el plano π:x+my+z=2\pi: x + my + z = 2 que depende del parámetro real mm. Obtened:

a) La posición relativa de las rectas rr y ss. (4 puntos)

b) El valor del parámetro mm para que la recta rr esté contenida en el plano π\pi. (3 puntos)

c) Los puntos AA, BB, CC intersección del plano π\pi con los ejes de coordenadas cuando m=2m = 2, así como el volumen del tetraedro de vértices AA, BB, CC y P(2,2,2)P(2, 2, 2). (3 puntos)
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Resultado
a) u⃗r=u⃗s=(1,−1,2)\vec u_r = \vec u_s = (1, -1, 2) y el punto (1,0,0)(1, 0, 0) de ss no está en rr: las rectas son paralelas.

b) m=3m = 3 (director perpendicular al normal y el punto (0,1,−1)(0, 1, -1) de rr en el plano).

c) A=(2,0,0)A = (2, 0, 0), B=(0,1,0)B = (0, 1, 0), C=(0,0,2)C = (0, 0, 2); volumen del tetraedro V=2 u3V = 2\ \text{u}^3.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La recta rr viene como corte de dos planos, así que lo primero es sacarle un punto y un vector director (el director, con el producto vectorial de los dos normales). Con eso:
  • a) Comparamos directores: si son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes, y se decide mirando si un punto de una está en la otra.
  • b) Una recta está contenida en un plano cuando su director es perpendicular al normal del plano y, además, un punto de la recta está en el plano. Hacen falta las dos condiciones.
  • c) Cada punto de corte con un eje se obtiene anulando las otras dos coordenadas, y el volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto.
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Desarrollo

a) Director de rr. Es perpendicular a los normales de sus dos planos, (1,1,0)(1, 1, 0) y (2,0,−1)(2, 0, -1):u⃗r=∣i⃗j⃗k⃗11020−1∣=(1⋅(−1)−0⋅0,  0⋅2−1⋅(−1),  1⋅0−1⋅2)=(−1,1,−2)\vec u_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-1) - 0\cdot 0,\; 0\cdot 2 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot 0 - 1\cdot 2\big) = (-1, 1, -2)Tomamos el proporcional u⃗r=(1,−1,2)\vec u_r = (1, -1, 2).

Un punto de rr. Con x=0x = 0: y=1y = 1 y z=2⋅0−1=−1z = 2\cdot 0 - 1 = -1, así que Pr=(0,1,−1)P_r = (0, 1, -1).

Datos de ss. De la continua: Ps=(1,0,0)P_s = (1, 0, 0) y u⃗s=(1,−1,2)\vec u_s = (1, -1, 2).

Comparamos. u⃗r=u⃗s\vec u_r = \vec u_s: las rectas son paralelas o coincidentes. Para distinguirlo, miramos si Ps=(1,0,0)P_s = (1, 0, 0) está en rr:x+y−1=1+0−1=0,2x−z−1=2−0−1=1≠0x + y - 1 = 1 + 0 - 1 = 0, \qquad 2x - z - 1 = 2 - 0 - 1 = 1 \neq 0Cumple la primera ecuación de rr pero no la segunda.

PsP_s no está en rr, luego las rectas no coinciden: son paralelas (distintas).

b) Condición sobre el director. Para que r⊂πr \subset \pi, el director de rr debe ser perpendicular al normal n⃗=(1,m,1)\vec n = (1, m, 1):u⃗r⋅n⃗=1⋅1+(−1)⋅m+2⋅1=3−m=0  ⟹  m=3\vec u_r \cdot \vec n = 1\cdot 1 + (-1)\cdot m + 2\cdot 1 = 3 - m = 0 \;\Longrightarrow\; m = 3Condición sobre un punto. Con m=3m = 3 el plano es x+3y+z=2x + 3y + z = 2. El punto Pr=(0,1,−1)P_r = (0, 1, -1):0+3⋅1+(−1)=2 ✓0 + 3\cdot 1 + (-1) = 2 \ ✓Como la recta es paralela al plano y tiene un punto en él, está contenida: m=3m = 3.

c) Plano con m=2m = 2: π:x+2y+z=2\pi: x + 2y + z = 2.

Cortes con los ejes.
  • Eje XX (y=z=0y = z = 0): x=2x = 2, así que A=(2,0,0)A = (2, 0, 0).
  • Eje YY (x=z=0x = z = 0): 2y=22y = 2, así que B=(0,1,0)B = (0, 1, 0).
  • Eje ZZ (x=y=0x = y = 0): z=2z = 2, así que C=(0,0,2)C = (0, 0, 2).
Vectores desde AA.AB→=(−2,1,0),AC→=(−2,0,2),AP→=(0,2,2)\overrightarrow{AB} = (-2, 1, 0), \qquad \overrightarrow{AC} = (-2, 0, 2), \qquad \overrightarrow{AP} = (0, 2, 2)Producto mixto.[AB→,AC→,AP→]=∣−210−202022∣=−2 (0−4)−1 (−4−0)+0=8+4=12\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AP}\right] = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -2\,(0 - 4) - 1\,(-4 - 0) + 0 = 8 + 4 = 12Volumen.V=16 ∣12∣=2 u3V = \frac{1}{6}\,|12| = 2 \ \text{u}^3
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Consejo

En b) los criterios dan 2 puntos a ver que el director es perpendicular al normal y 1 punto a comprobar que un punto de la recta está en el plano. Si te quedas en u⃗⋅n⃗=0\vec u \cdot \vec n = 0 solo has probado que la recta es paralela al plano, no que esté dentro: no te dejes la comprobación.

En a), que los directores sean iguales no basta para decir «paralelas»: hay que descartar que sean la misma recta con un punto.
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