Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

Comunitat Valenciana · 2021 · Julio
Enunciado
Se da el sistema de ecuaciones{2x−y+z=mx+y+3z=05x−4y+m z=m\begin{cases} 2x - y + z = m \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + m\,z = m \end{cases}donde mm es un parámetro real. Se pide:

a) La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro mm. (4 puntos)

b) La solución del sistema cuando m=1m = 1. (3 puntos)

c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)
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Resultado
a) ∣A∣=3m|A| = 3m. Si m≠0m \neq 0: compatible determinado. Si m=0m = 0: compatible indeterminado (homogéneo con rango 2).

b) Con m=1m = 1: x=3x = 3, y=3y = 3, z=−2z = -2.

c) Con m=0m = 0: x=−43αx = -\dfrac{4}{3}\alpha, y=−53αy = -\dfrac{5}{3}\alpha, z=αz = \alpha, con α∈R\alpha \in \mathbb{R} (equivalentemente, (x,y,z)=λ(−4,−5,3)(x, y, z) = \lambda(-4, -5, 3)).
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Estrategia

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así que lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes: donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado (Rouché-Frobenius). Solo queda estudiar a mano el valor de mm que lo anula.

Aquí hay un detalle que simplifica mucho: el valor crítico resulta ser m=0m = 0, y con m=0m = 0 todos los términos independientes son cero. Un sistema homogéneo nunca es incompatible (siempre tiene la solución x=y=z=0x = y = z = 0), así que con rango 2 será compatible indeterminado.

En b) basta con Cramer (o Gauss) con m=1m = 1, y en c) se resuelve el homogéneo dejando una incógnita como parámetro.
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Desarrollo

a) Matrices del sistema.A=(2−111135−4m),A∗=(2−11m11305−4mm)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & -4 & m \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & m \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 5 & -4 & m & m \end{array}\right)Determinante de AA (desarrollando por la primera fila):∣A∣=2 (m+12)−(−1)(m−15)+1 (−4−5)=2m+24+m−15−9=3m|A| = 2\,(m + 12) - (-1)(m - 15) + 1\,(-4 - 5) = 2m + 24 + m - 15 - 9 = 3mCaso m≠0m \neq 0. ∣A∣≠0|A| \neq 0, así que rg⁡A=rg⁡A∗=3\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3, igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso m=0m = 0. El sistema queda{2x−y+z=0x+y+3z=05x−4y=0\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y = 0 \end{cases}que es homogéneo. El menor ∣2−111∣=3≠0\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 da rg⁡A=2\operatorname{rg} A = 2, y como la columna de términos independientes es nula, rg⁡A∗=2\operatorname{rg} A^* = 2. Rango 2<32 < 3 incógnitas: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

b) Con m=1m = 1 el sistema es compatible determinado, con ∣A∣=3|A| = 3:{2x−y+z=1x+y+3z=05x−4y+z=1\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + z = 1 \end{cases}Regla de Cramer.x=∣1−110131−41∣3=1 (1+12)+1 (0−3)+1 (0−1)3=93=3x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{1\,(1 + 12) + 1\,(0 - 3) + 1\,(0 - 1)}{3} = \frac{9}{3} = 3y=∣211103511∣3=2 (0−3)−1 (1−15)+1 (1−0)3=93=3y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{2\,(0 - 3) - 1\,(1 - 15) + 1\,(1 - 0)}{3} = \frac{9}{3} = 3z=∣2−111105−41∣3=2 (1−0)+1 (1−0)+1 (−4−5)3=−63=−2z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 1 \end{vmatrix}}{3} = \frac{2\,(1 - 0) + 1\,(1 - 0) + 1\,(-4 - 5)}{3} = \frac{-6}{3} = -2Comprobación. 2⋅3−3−2=12\cdot 3 - 3 - 2 = 1 ✓; 3+3−6=03 + 3 - 6 = 0 ✓; 15−12−2=115 - 12 - 2 = 1 ✓.

c) El caso compatible indeterminado es m=0m = 0. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo) y tomamos z=αz = \alpha como parámetro:{2x−y=−αx+y=−3α\begin{cases} 2x - y = -\alpha \\ x + y = -3\alpha \end{cases}Resolvemos. Sumando las dos: 3x=−4α3x = -4\alpha, así que x=−43αx = -\dfrac{4}{3}\alpha. De la segunda, y=−3α−x=−3α+43α=−53αy = -3\alpha - x = -3\alpha + \dfrac{4}{3}\alpha = -\dfrac{5}{3}\alpha.

Comprobación en la tercera. 5(−43α)−4(−53α)=−203α+203α=05\left(-\dfrac{4}{3}\alpha\right) - 4\left(-\dfrac{5}{3}\alpha\right) = -\dfrac{20}{3}\alpha + \dfrac{20}{3}\alpha = 0 ✓.
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Consejo

Antes de calcular el rango de la ampliada en el caso crítico, mira los términos independientes: si son todos cero, el sistema es homogéneo y no puede ser incompatible. Dilo así en el examen, que es la justificación que busca el corrector.

En la discusión hay que nombrar los rangos de AA y de A∗A^* en cada caso y citar Rouché-Frobenius; decir solo «SCD» o «SCI» sin rangos deja la discusión a medias.
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