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Problema resuelto de Matemáticas II: Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.

b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

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Resultado

X \sim B\!\left(3900, \tfrac{1}{365}\right) \approx N(10{,}68;\ 3{,}26)

.

a)

P(X \geq 15) \approx 0{,}121

.

b)

P(5 \leq X \leq 15) \approx 0{,}902

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada persona «cumple años el día del patrón» o no, con probabilidad

p = \tfrac{1}{365}

(suponiendo años de 365 días y cumpleaños repartidos por igual), y las 3900 personas son independientes. El número de personas que lo cumplen ese día es una binomial

B\!\left(3900, \tfrac{1}{365}\right)

.

Con

n = 3900

calcular la binomial a mano es inviable, pero se cumplen

np \geq 5

nq \geq 5

, así que se aproxima por una normal con la misma media y desviación, usando la corrección de continuidad (cada valor entero

k

pasa a ser el intervalo

[k - 0{,}5,\ k + 0{,}5]

Desarrollo

Modelo binomial.

X

= número de personas que cumplen años el día del patrón:

X \sim B(n, p), \qquad n = 3900, \quad p = \frac{1}{365}, \quad q = \frac{364}{365}

Condiciones de la aproximación.

np = \dfrac{3900}{365} \approx 10{,}68 \geq 5

nq \approx 3889{,}3 \geq 5

.

Normal que la aproxima.

\mu = np \approx 10{,}68, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{10{,}68 \cdot \tfrac{364}{365}} \approx 3{,}26

X \approx X' \sim N(10{,}68;\ 3{,}26)

a) Al menos 15, con corrección de continuidad:

P(X \geq 15) \approx P(X' \geq 14{,}5)

P(X' \geq 14{,}5) = P\!\left(Z \geq \frac{14{,}5 - 10{,}68}{3{,}26}\right) = P(Z \geq 1{,}17) = 1 - P(Z < 1{,}17) = 1 - 0{,}8790 = 0{,}1210

b) Entre 5 y 15, ambos incluidos:

P(5 \leq X \leq 15) \approx P(4{,}5 \leq X' \leq 15{,}5)

.

Tipificación.

z_1 = \frac{4{,}5 - 10{,}68}{3{,}26} \approx -1{,}90, \qquad z_2 = \frac{15{,}5 - 10{,}68}{3{,}26} \approx 1{,}48

Con la tabla (y la simetría

P(Z \leq -a) = 1 - P(Z \leq a)

P(-1{,}90 \leq Z \leq 1{,}48) = P(Z \leq 1{,}48) - \big(1 - P(Z \leq 1{,}90)\big) = 0{,}9306 - (1 - 0{,}9713) = 0{,}9019

(La binomial exacta, calculada con ordenador, da 0,124 en a) y 0,905 en b): la aproximación es buena.)

Consejo

Identificar el modelo vale 0,5 puntos: di explícitamente que es una binomial $B(3900, 1/365)$ , comprueba $np \geq 5$ y $nq \geq 5$ y escribe la normal con su media y su desviación. Lo que más se olvida es la corrección de continuidad: «al menos 15» es $X' \geq 14{,}5$ , y «entre 5 y 15 ambos incluidos» es de 4,5 a 15,5.

Paso 1 de 3

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