Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Calcular, explicando los métodos utilizados,

I = \int (x + 2)\sin(2x)\,dx \qquad \text{y} \qquad J = \int \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 5}\,dx.

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Resultado

I = -\frac{(x + 2)\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \quad \text{(por partes)}

J = 2\ln|x - 5| - \ln|x + 1| + C \quad \text{(fracciones simples)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos integrales típicas, cada una con su método:

$I$ es un polinomio por una función trigonométrica: se hace por partes, derivando el polinomio (que baja de grado) e integrando el seno.
$J$ es una función racional con el numerador de menor grado que el denominador y un denominador con dos raíces reales distintas: se descompone en fracciones simples y cada trozo da un logaritmo.

Desarrollo

Integral $I$ : por partes. La fórmula es

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

. Elegimos

u = x + 2 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \sin(2x)\,dx \;\Rightarrow\; v = -\frac{\cos(2x)}{2}

I = -\frac{(x + 2)\cos(2x)}{2} + \int \frac{\cos(2x)}{2}\,dx = -\frac{(x + 2)\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C

Comprobación de $I$ . Derivando:

-\tfrac{\cos(2x)}{2} + (x + 2)\sin(2x) + \tfrac{2\cos(2x)}{4} = (x + 2)\sin(2x)

✓.

Integral $J$ : fracciones simples. Raíces del denominador:

x^2 - 4x - 5 = 0 \iff x = \dfrac{4 \pm 6}{2}

, es decir,

x = 5

x = -1

. Por tanto

x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)

\frac{x + 7}{(x - 5)(x + 1)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1} \;\Longrightarrow\; x + 7 = A(x + 1) + B(x - 5)

Coeficientes. Dando a

x

los valores de las raíces:

x = 5:\quad 12 = 6A \;\Rightarrow\; A = 2, \qquad x = -1:\quad 6 = -6B \;\Rightarrow\; B = -1

Integración.

J = \int \left(\frac{2}{x - 5} - \frac{1}{x + 1}\right) dx = 2\ln|x - 5| - \ln|x + 1| + C

que también se puede escribir

J = \ln\dfrac{(x - 5)^2}{|x + 1|} + C

Consejo

Cada integral vale 1,25 puntos y el enunciado pide explicar el método: escribe «por partes» con la elección de $u$ y $dv$ , y «descomposición en fracciones simples» con la factorización del denominador. Cuidado con el factor $\tfrac{1}{2}$ al integrar $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$ , con los valores absolutos de los logaritmos y con la constante $C$ .