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Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Sea la función

f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + A

.

a) Obtener los valores de los parámetros

A

B

C

para que la gráfica de

f

pase por el punto

(0, 1)

y tenga un mínimo en el punto

(1, 1)

.

b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 1

B = -2

C = 1

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1

.

b) Sí: además del mínimo en

(1, 1)

, tiene un máximo relativo en

\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{31}{27}\right) \approx (0{,}33;\ 1{,}15)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada dato del enunciado es una ecuación:

«pasa por $(0, 1)$ »: $f(0) = 1$ ;
«tiene un mínimo en $(1, 1)$ » son dos condiciones: el punto está en la gráfica, $f(1) = 1$ , y es un punto crítico, $f'(1) = 0$ .

Tres ecuaciones para tres incógnitas. Después conviene comprobar con

f''(1) > 0

que de verdad es un mínimo. En b) se buscan los demás ceros de

f'

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 3Ax^2 + 2Bx + C

.

Las tres condiciones.

f(0) = 1:\quad A = 1

f(1) = 1:\quad A + B + C + A = 1 \;\Longrightarrow\; B + C = -1

f'(1) = 0:\quad 3A + 2B + C = 0 \;\Longrightarrow\; 2B + C = -3

Sistema. Restando la segunda a la tercera:

B = -2

, y entonces

C = -1 - B = 1

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1

Comprobación de que es mínimo.

f''(x) = 6x - 4

f''(1) = 2 > 0

: en

x = 1

hay un mínimo relativo ✓. Además

f(0) = 1

✓ y

f(1) = 1 - 2 + 1 + 1 = 1

✓.

b) Puntos críticos.

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = 0 \iff x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \iff x = 1 \ \text{ o } \ x = \frac{1}{3}

Naturaleza del nuevo punto.

f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = 2 - 4 = -2 < 0

: es un máximo relativo.

f\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{1 - 6 + 9 + 27}{27} = \frac{31}{27} \approx 1{,}15

No hay más extremos:

f'

es de segundo grado y solo tiene esas dos raíces. (Son extremos relativos; al ser un polinomio de grado 3, no tiene máximo ni mínimo absolutos en

\mathbb{R}

Consejo

Cada apartado vale 1,25 puntos. El fallo más frecuente es usar solo $f'(1) = 0$ y olvidar que «mínimo en el punto $(1, 1)$ » también obliga a $f(1) = 1$ . Y no te quedes en el sistema: comprueba con $f''$ que el punto es un mínimo y no un máximo, porque $f'(1) = 0$ por sí solo no lo garantiza.