Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P = (-2, 1, 0)

y corta perpendicularmente a la recta

r

de ecuaciones paramétricas

\{x = 1 - 2t,\ y = 1 + t,\ z = t\}.

Calcular la distancia de

P

al punto de corte de ambas rectas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Recta pedida:

x = -2 + \lambda,\ y = 1 + \lambda,\ z = \lambda

. Corta a

r

P_0 = (-1, 2, 1)

d(P, P_0) = \sqrt{3} \approx 1{,}73

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta buscada sale de

P

y llega a

r

formando un ángulo recto: el punto donde llega es la proyección ortogonal de

P

sobre

r

. Para encontrarlo hay dos caminos equivalentes:

tomar el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ (su normal es el director de $r$ ) y cortarlo con $r$ ;
o tomar un punto genérico $Q(t)$ de $r$ e imponer $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec u_r = 0$ .

Con ese punto

P_0

, la recta pedida es la que pasa por

P

con director

\overrightarrow{PP_0}

, y la distancia pedida es

|\overrightarrow{PP_0}|

Desarrollo

Datos de $r$ . Punto

R = (1, 1, 0)

y director

\vec u_r = (-2, 1, 1)

.

Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su normal es

\vec u_r

\pi: -2x + y + z + D = 0, \qquad P:\ 4 + 1 + 0 + D = 0 \;\Rightarrow\; D = -5

\pi: -2x + y + z - 5 = 0

Punto de corte con $r$ . Sustituyendo la paramétrica de

r

-2(1 - 2t) + (1 + t) + t - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 6t - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1

P_0 = (1 - 2,\ 1 + 1,\ 1) = (-1, 2, 1)

Comprobación de la perpendicularidad.

\overrightarrow{PP_0} = (-1, 2, 1) - (-2, 1, 0) = (1, 1, 1)

\overrightarrow{PP_0} \cdot \vec u_r = (1)(-2) + (1)(1) + (1)(1) = 0 \ ✓

Recta pedida. Pasa por

P = (-2, 1, 0)

con director

(1, 1, 1)

s: \begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Corta a

r

P_0

(para

\lambda = 1

) y es perpendicular a ella.

Distancia de $P$ a $P_0$ .

d(P, P_0) = \left|\overrightarrow{PP_0}\right| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\ \text{u}

Es, de paso, la distancia del punto

P

a la recta

r

Consejo

La recta vale 2 de los 2,5 puntos y la distancia, 0,5. Cuidado con un error muy común: tomar como director de la recta pedida un vector cualquiera perpendicular a $\vec u_r$ . Hay infinitos, y casi ninguno lleva a cortar a $r$ : el bueno es el que une $P$ con su proyección $P_0$ . Comprueba al final que $\overrightarrow{PP_0}\cdot\vec u_r = 0$ .