Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.

b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

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Resultado

P(C) = 0{,}105

(un 10,5 %).

b)

P(A \mid C) = \dfrac{16}{21} \approx 0{,}762

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Estrategia

Es el esquema clásico de un diagrama de árbol en dos etapas: primero el tipo de medicamento (A, I o M) y después si está caducado o no. Los porcentajes de caducados son probabilidades condicionadas al tipo.

En a) se suman las tres ramas que acaban en «caducado»: probabilidad total.
En b) se da la vuelta a la condición: teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

A

I

M

: el medicamento es de ese tipo;

C

: está caducado.

Datos.

P(A) = 0{,}8

P(I) = 0{,}1

P(M) = 1 - 0{,}8 - 0{,}1 = 0{,}1

; y

P(C \mid A) = 0{,}10, \qquad P(C \mid I) = 0{,}20, \qquad P(C \mid M) = 0{,}05

Árbol. De la raíz salen tres ramas, A (0,8), I (0,1) y M (0,1); de cada una, dos ramas, «caducado» y «no caducado», con las probabilidades condicionadas de arriba y sus complementarias (0,90, 0,80 y 0,95).

a) Probabilidad total.

P(C) = P(A)\,P(C \mid A) + P(I)\,P(C \mid I) + P(M)\,P(C \mid M)

P(C) = 0{,}8 \cdot 0{,}1 + 0{,}1 \cdot 0{,}2 + 0{,}1 \cdot 0{,}05 = 0{,}08 + 0{,}02 + 0{,}005 = 0{,}105

b) Teorema de Bayes.

P(A \mid C) = \frac{P(A)\,P(C \mid A)}{P(C)} = \frac{0{,}08}{0{,}105} = \frac{16}{21} \approx 0{,}762

Tiene sentido: aunque A caduca menos que I, es el 80 % del lote, así que la mayoría de los caducados son de A.

Consejo

El planteamiento (definir los sucesos y el árbol) ya vale 0,5 puntos, y cada apartado, 1 punto. Escribe los sucesos con su nombre y las fórmulas de la probabilidad total y de Bayes antes de poner números. No confundas $P(C \mid A) = 0{,}1$ (dato) con $P(A \mid C)$ (lo que pide b).