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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Sean las funciones:

f(x) = 1/x

g(x) = x^2

h(x) = x^2/8

.

a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.

b) Calcular el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Recinto con vértices

(0, 0)

(1, 1)

\left(2, \tfrac{1}{2}\right)

: arriba

y = x^2

[0, 1]

y = 1/x

[1, 2]

; abajo

y = x^2/8

.

b)

S = \ln 2 \approx 0{,}693\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres curvas conocidas: dos parábolas con vértice en el origen (una «estrecha»,

x^2

, y otra «ancha»,

x^2/8

) y la hipérbola

1/x

. El recinto queda encerrado entre las dos parábolas desde el origen hasta que la hipérbola las corta.

La clave es ver qué curva hace de techo en cada tramo: el techo cambia en el punto donde

x^2

se cruza con

1/x

, así que el área se parte en dos integrales. El suelo es siempre

x^2/8

Desarrollo

a) Puntos de corte (en el primer cuadrante,

x > 0

$g$ y $h$ : $x^2 = \dfrac{x^2}{8} \iff x = 0$ . Punto $(0, 0)$ .
$f$ y $g$ : $\dfrac{1}{x} = x^2 \iff x^3 = 1 \iff x = 1$ . Punto $(1, 1)$ .
$f$ y $h$ : $\dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2}{8} \iff x^3 = 8 \iff x = 2$ . Punto $\left(2, \tfrac{1}{2}\right)$ .

Dibujo del recinto. Es una especie de triángulo curvo con vértices en

(0, 0)

(1, 1)

\left(2, \tfrac{1}{2}\right)

el lado de arriba a la izquierda es la parábola $y = x^2$ , de $(0, 0)$ a $(1, 1)$ ;
el lado de arriba a la derecha es la hipérbola $y = 1/x$ , que baja de $(1, 1)$ a $\left(2, \tfrac{1}{2}\right)$ ;
el lado de abajo es la parábola ancha $y = x^2/8$ , que sube despacio de $(0, 0)$ a $\left(2, \tfrac{1}{2}\right)$ .

Así, entre

x = 0

x = 1

el techo es

x^2

, y entre

x = 1

x = 2

el techo es

1/x

; el suelo es

x^2/8

en todo

[0, 2]

. (Por ejemplo, en

x = \tfrac{1}{2}

x^2 = 0{,}25 > x^2/8 \approx 0{,}03

; en

x = \tfrac{3}{2}

1/x \approx 0{,}67 > x^2/8 \approx 0{,}28

.)

b) Área partida en dos tramos.

S = \int_0^1 \left(x^2 - \frac{x^2}{8}\right) dx + \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) dx

Primer tramo.

\int_0^1 \frac{7x^2}{8}\,dx = \left[\frac{7x^3}{24}\right]_0^1 = \frac{7}{24}

Segundo tramo.

\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x^2}{8}\right) dx = \left[\ln x - \frac{x^3}{24}\right]_1^2 = \left(\ln 2 - \frac{8}{24}\right) - \left(0 - \frac{1}{24}\right) = \ln 2 - \frac{7}{24}

Suma.

S = \frac{7}{24} + \ln 2 - \frac{7}{24} = \ln 2 \approx 0{,}693\ \text{u}^2

Consejo

El dibujo con los puntos de corte vale 1,25 puntos y el área con la regla de Barrow, otros 1,25. El error típico es integrar de una vez $\int_0^2 (\dots)$ sin ver que el techo cambia en $x = 1$ . Dibuja antes de integrar y escribe el área como suma de dos integrales con «techo menos suelo» en cada una.