Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f(x) = 5 + 8x^2 - x^4

. Representar la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Creciente en $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$ ; decreciente en $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$ .
Máximos en $(-2, 21)$ y $(2, 21)$ ; mínimo en $(0, 5)$ .
Gráfica en forma de «M», simétrica respecto del eje $Y$ , que corta el eje $X$ en $x = \pm\sqrt{4 + \sqrt{21}} \approx \pm 2{,}93$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un polinomio, así que es continua y derivable en todo

\mathbb{R}

: los extremos solo pueden estar donde

f'(x) = 0

, y el signo de

f'

entre esos puntos da el crecimiento.

Para dibujarla ayudan dos cosas más: que solo tiene potencias pares (es par, simétrica respecto del eje

Y

) y su comportamiento en el infinito (

-x^4

manda, así que baja a

-\infty

por los dos lados). Con los extremos, los cortes con los ejes y, si se quiere, los puntos de inflexión, la gráfica queda clara.

Desarrollo

Derivada y puntos críticos.

f'(x) = 16x - 4x^3 = 4x\,(4 - x^2) = 4x\,(2 - x)(2 + x)

f'(x) = 0 \iff x = -2,\quad x = 0,\quad x = 2

Signo de $f'$ . Tomando un valor de prueba en cada intervalo:

Intervalo	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
Valor de prueba	$x = -3$	$x = -1$	$x = 1$	$x = 3$
$f'(x)$	$60 > 0$	$-12 < 0$	$12 > 0$	$-60 < 0$
$f$	crece	decrece	crece	decrece

Crecimiento y decrecimiento.

f

es creciente en

(-\infty, -2) \cup (0, 2)

y decreciente en

(-2, 0) \cup (2, +\infty)

.

Extremos. Donde pasa de crecer a decrecer hay máximo, y al revés, mínimo:

f(-2) = f(2) = 5 + 32 - 16 = 21, \qquad f(0) = 5

Máximos relativos en $(-2, 21)$ y $(2, 21)$ (son también los absolutos, porque $f \to -\infty$ en los extremos).
Mínimo relativo en $(0, 5)$ .

Se confirma con la derivada segunda,

f''(x) = 16 - 12x^2

f''(\pm 2) = -32 < 0

(máximos) y

f''(0) = 16 > 0

(mínimo).

Datos para la gráfica.

Simetría: $f(-x) = f(x)$ , simétrica respecto del eje $Y$ .
Corte con el eje $Y$ : $(0, 5)$ .
Cortes con el eje $X$ : $x^4 - 8x^2 - 5 = 0$ ; con $u = x^2$ , $u = 4 \pm \sqrt{21}$ . Solo vale la positiva, $x^2 = 4 + \sqrt{21}$ , así que $x = \pm\sqrt{4 + \sqrt{21}} \approx \pm 2{,}93$ .
Ramas infinitas: $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$ .
Inflexión (opcional): $f''(x) = 0$ en $x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15$ , con $f = \dfrac{125}{9} \approx 13{,}9$ .

Gráfica. Tiene forma de «M»: viene de

-\infty

por la izquierda, corta el eje

X

x \approx -2{,}93

, sube hasta el máximo

(-2, 21)

, baja (cambiando de curvatura hacia

x \approx -1{,}15

) hasta el mínimo

(0, 5)

sobre el eje

Y

, vuelve a subir de forma simétrica hasta el máximo

(2, 21)

y cae, cortando el eje

X

x \approx 2{,}93

, hacia

-\infty

Consejo

La gráfica vale 1 punto de 2,5 (los intervalos, 0,75, y los extremos, otros 0,75): no la dejes para el final con prisas. Marca en ella los extremos con sus coordenadas, el corte con el eje $Y$ y los cortes con el eje $X$ , y que se vea la simetría. Y escribe los intervalos abiertos y separados por $\cup$ , no con «y» ambiguo.