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Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

País Vasco · 2021 · Junio
Enunciado
Sean rr la recta que pasa por los puntos A=(1,a,−1)A = (1, a, -1) y B=(b,1,1)B = (b, 1, 1) y π\pi el plano de ecuación x+y−2z=2bx + y - 2z = 2b.

a) Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr sea perpendicular al plano π\pi.

b) Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la recta rr esté contenida en el plano π\pi.
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Resultado
a) r⊥πr \perp \pi para a=2a = 2 y b=0b = 0.

b) r⊂πr \subset \pi para a=−5a = -5 y b=−1b = -1.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Todo se juega con dos vectores: el director de la recta, v⃗=AB→\vec v = \overrightarrow{AB}, y el normal del plano, n⃗=(1,1,−2)\vec n = (1, 1, -2).
  • Recta perpendicular al plano: la recta va en la dirección del normal, así que v⃗\vec v y n⃗\vec n son proporcionales.
  • Recta contenida en el plano: la recta es paralela al plano (v⃗⊥n⃗\vec v \perp \vec n, producto escalar nulo) y además uno de sus puntos está en el plano.
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Desarrollo

Vectores.v⃗=AB→=(b−1, 1−a, 2),n⃗=(1,1,−2)\vec v = \overrightarrow{AB} = (b - 1,\ 1 - a,\ 2), \qquad \vec n = (1, 1, -2)a) Condición de perpendicularidad. v⃗=k n⃗\vec v = k\,\vec n para algún kk:(b−1, 1−a, 2)=k (1,1,−2)(b - 1,\ 1 - a,\ 2) = k\,(1, 1, -2)La tercera coordenada fija kk: 2=−2k2 = -2k, luego k=−1k = -1. Entoncesb−1=−1  ⇒  b=0,1−a=−1  ⇒  a=2b - 1 = -1 \;\Rightarrow\; b = 0, \qquad 1 - a = -1 \;\Rightarrow\; a = 2Comprobación. Con a=2a = 2, b=0b = 0: v⃗=(−1,−1,2)=−(1,1,−2)\vec v = (-1, -1, 2) = -(1, 1, -2) ✓.

b) Recta paralela al plano. v⃗⋅n⃗=0\vec v \cdot \vec n = 0:(b−1)+(1−a)−4=0  ⟹  b−a=4(b - 1) + (1 - a) - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; b - a = 4Un punto de la recta en el plano. A=(1,a,−1)A = (1, a, -1) debe cumplir x+y−2z=2bx + y - 2z = 2b:1+a+2=2b  ⟹  a−2b=−31 + a + 2 = 2b \;\Longrightarrow\; a - 2b = -3Sistema. De la primera, b=a+4b = a + 4; sustituyendo en la segunda: a−2a−8=−3a - 2a - 8 = -3, así que a=−5a = -5 y b=−1b = -1.

Comprobación. Con a=−5a = -5, b=−1b = -1: A=(1,−5,−1)A = (1, -5, -1) y B=(−1,1,1)B = (-1, 1, 1); el plano es x+y−2z=−2x + y - 2z = -2. AA: 1−5+2=−21 - 5 + 2 = -2 ✓; BB: −1+1−2=−2-1 + 1 - 2 = -2 ✓. Los dos puntos están en π\pi, así que toda la recta lo está.
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Consejo

Cada apartado vale 1,25 puntos. En b) el fallo típico es quedarse en v⃗⋅n⃗=0\vec v \cdot \vec n = 0: eso solo dice que la recta es paralela al plano (o contenida). Falta exigir que un punto suyo esté en π\pi. Y no confundas las condiciones: perpendicular a un plano es «director proporcional al normal», no «producto escalar cero».
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