Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} \alpha & -1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & \alpha & \alpha \\ 1 & 0 & \alpha - 1 & 1 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = \alpha\big[(-1)(\alpha - 1) - 0\big] + 1\cdot\big[3(\alpha - 1) - \alpha\big] + 1\cdot\big[0 + 1\big] = -\alpha^2 + \alpha + 2\alpha - 3 + 1 = -\alpha^2 + 3\alpha - 2$$$$|A| = -(\alpha - 1)(\alpha - 2) = 0 \iff \alpha = 1 \ \text{ o } \ \alpha = 2$$Caso $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq 2$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} x - y + z = 1 \\ 3x - y + z = 1 \\ x = 1 \end{cases}$$Restando la primera a la segunda, $2x = 0$, o sea $x = 0$, que choca con la tercera ($x = 1$). En rangos: el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y en la ampliada el menor de las columnas 1, 2 y 4$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 0) + 1(3 - 1) + 1(0 + 1) = 2 \neq 0$$da $\operatorname{rg}(A^*) = 3$. Como $2 \neq 3$: sistema incompatible.

Caso $\alpha = 2$. El sistema queda$$\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + z = 1 \end{cases}$$La segunda menos la primera es $x + z = 1$, justo la tercera: la tercera ecuación sobra. $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$) y $\operatorname{rg}(A^*) = 2$ también, porque la tercera fila de $A^*$, $(1, 0, 1 \mid 1)$, es la segunda menos la primera. Como $2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).

Si se quiere ver la familia: con $z = \lambda$, $x = 1 - \lambda$ y $y = 2x + z - 1 = 1 - \lambda$, es decir, $(x, y, z) = (1 - \lambda,\ 1 - \lambda,\ \lambda)$.

Resolución para $\alpha = 3$. Es compatible determinado:$$\begin{cases} 3x - y + z = 1 \\ 3x - y + 3z = 3 \\ x + 2z = 1 \end{cases}$$Restando la primera a la segunda: $2z = 2$, luego $z = 1$. De la tercera, $x = 1 - 2z = -1$. De la primera, $y = 3x + z - 1 = -3 + 1 - 1 = -3$.

Comprobación. $3(-1) - (-3) + 1 = 1$ ✓; $3(-1) - (-3) + 3 = 3$ ✓; $-1 + 2 = 1$ ✓.