Matemáticas IIFácil2,5 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

País Vasco · 2021 · Julio
Enunciado
La estatura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 1,74 cm y desviación típica 0,05 cm. Se elige un individuo al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una estatura igual o inferior a la media?

b) ¿Cuál es la probabilidad que su estatura esté comprendida entre 1,64 y 1,84 cm?

c) Si la población está compuesta por 1500 individuos, ¿Cuántos tienen una estatura inferior a 1,54 cm?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
  • a) P(X≤1,74)=0,5P(X \le 1{,}74) = 0{,}5.
  • b) P(1,64≤X≤1,84)=0,9544P(1{,}64 \le X \le 1{,}84) = 0{,}9544.
  • c) P(X<1,54)=P(Z<−4)≈0P(X < 1{,}54) = P(Z < -4) \approx 0: se espera que ningún individuo (unos 0,050{,}05 de 1500) mida menos de 1,54.
(Las estaturas son en metros; el «cm» del enunciado es una errata.)
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El enunciado dice «cm», pero una estatura media de 1,74 cm no tiene sentido: es una errata por metros. Como todas las cifras están en la misma unidad, las probabilidades no cambian; trabajamos con X∼N(1,74; 0,05)X \sim N(1{,}74;\ 0{,}05) en metros.

Cada pregunta se resuelve tipificando, Z=X−μσ∼N(0,1)Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1), y leyendo la tabla. En a) basta la simetría de la normal; en c) se calcula la probabilidad y se multiplica por el tamaño de la población.
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Desarrollo

a) Por debajo de la media. La normal es simétrica respecto de su media, así que deja la mitad de la probabilidad a cada lado:P(X≤1,74)=P(Z≤0)=0,5P(X \le 1{,}74) = P(Z \le 0) = 0{,}5b) Tipificación de los extremos.z1=1,64−1,740,05=−2,z2=1,84−1,740,05=2z_1 = \frac{1{,}64 - 1{,}74}{0{,}05} = -2, \qquad z_2 = \frac{1{,}84 - 1{,}74}{0{,}05} = 2Probabilidad del intervalo. Con la simetría, P(Z≤−2)=1−P(Z≤2)P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2):P(1,64≤X≤1,84)=P(−2≤Z≤2)=P(Z≤2)−(1−P(Z≤2))=2⋅0,9772−1=0,9544P(1{,}64 \le X \le 1{,}84) = P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - \big(1 - P(Z \le 2)\big) = 2\cdot 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544c) Probabilidad de medir menos de 1,54.P(X<1,54)=P(Z<1,54−1,740,05)=P(Z<−4)=1−P(Z<4)P(X < 1{,}54) = P\left(Z < \frac{1{,}54 - 1{,}74}{0{,}05}\right) = P(Z < -4) = 1 - P(Z < 4)La tabla llega como mucho a z≈3,99z \approx 3{,}99, donde ya da 1,00001{,}0000, así que P(Z<−4)≈0P(Z < -4) \approx 0 (con más decimales, 0,000030{,}00003).

Número de individuos. El número esperado es1500⋅P(X<1,54)≈1500⋅0,00003≈0,051500 \cdot P(X < 1{,}54) \approx 1500 \cdot 0{,}00003 \approx 0{,}05es decir, prácticamente ninguno: estar cuatro desviaciones típicas por debajo de la media es rarísimo.
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Consejo

Los criterios valoran a) con 0,5 puntos y b) y c) con 1 punto cada uno. En a) no hace falta la tabla: la media de una normal es también su mediana, y escribirlo así ya es la justificación.

En c), la respuesta es un número de individuos, no una probabilidad: multiplica por 1500 y redondea con sentido (no tiene sentido decir «0,05 personas»).
Paso 1 de 3
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