Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Enunciado

Calcular

\displaystyle\int x \ln(x + 1)\,dx

, explicando el método utilizado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Por partes, con

u = \ln(x + 1)

dv = x\,dx

\int x \ln(x + 1)\,dx = \frac{x^2 - 1}{2}\ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un producto de un polinomio por un logaritmo: el caso típico de integración por partes. La fórmula es

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

y se elige como

u

el logaritmo (al derivarlo desaparece) y como

dv

el polinomio (fácil de integrar). La integral que queda es racional; como el grado del numerador supera al del denominador, se divide antes de integrar.

Desarrollo

El método. La integración por partes sale de la derivada de un producto:

(uv)' = u'v + uv'

, así que, integrando,

uv = \int v\,du + \int u\,dv

, de donde

\int u\,dv = uv - \int v\,du

. Sirve cuando

\int v\,du

es más sencilla que la integral de partida.

Elección de las partes.

u = \ln(x + 1) \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x + 1}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

Aplicación de la fórmula.

\int x \ln(x + 1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x + 1) - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x + 1}\,dx

Integral racional. Dividiendo

x^2

entre

x + 1

(cociente

x - 1

, resto

1

\frac{x^2}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}

\int \frac{x^2}{x + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x + 1)

(Como el dominio del integrando es

x > -1

, no hace falta el valor absoluto en el logaritmo.)

Resultado y simplificación.

\int x \ln(x + 1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(x + 1) + C = \frac{x^2 - 1}{2}\ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C

Comprobación derivando.

\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2 - 1}{2}\ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}\right] = x\ln(x + 1) + \frac{x^2 - 1}{2(x + 1)} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = x\ln(x + 1) + \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 1}{2} = x\ln(x + 1)\;\checkmark

Consejo

El enunciado pide explicar el método y los criterios le dan 0,5 puntos: escribe la fórmula de partes y di qué tomas como $u$ y como $dv$ y por qué. El cálculo vale los otros 2 puntos.

Si eliges al revés ( $u = x$ , $dv = \ln(x + 1)\,dx$ ) necesitas la primitiva del logaritmo y el cálculo se complica. Y no olvides la constante $C$ .