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Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

País Vasco · 2021 · Julio
Enunciado
Sea f(x)=x4+Ax2+Bx+Cf(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C. Obtener los valores de AA, BB y CC para que en el punto de abscisa x=0x = 0 la recta tangente a la gráfica de ff sea y=2x−1y = 2x - 1 y en el punto de abscisa x=1x = 1 la recta tangente a la gráfica de ff sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa x=1x = 1, ¿es máximo o mínimo?
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Resultado
  • A=−3A = -3, B=2B = 2, C=−1C = -1, es decir, f(x)=x4−3x2+2x−1f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1.
  • En x=1x = 1 hay un mínimo relativo (f′′(1)=6>0f''(1) = 6 > 0), en el punto (1,−1)(1, -1).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Cada condición sobre una tangente da información sobre ff y f′f':
  • «La tangente en x=0x = 0 es y=2x−1y = 2x - 1» dice dos cosas: el punto de tangencia está en esa recta, f(0)=−1f(0) = -1, y la pendiente es la de la recta, f′(0)=2f'(0) = 2.
  • «La tangente en x=1x = 1 es horizontal» dice f′(1)=0f'(1) = 0.
Son tres ecuaciones para tres incógnitas. Después, el criterio de la derivada segunda decide si en x=1x = 1 hay un máximo o un mínimo.
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Desarrollo

Derivadas.f′(x)=4x3+2Ax+B,f′′(x)=12x2+2Af'(x) = 4x^3 + 2Ax + B, \qquad f''(x) = 12x^2 + 2ATangente en x=0x = 0. El punto de tangencia es (0,f(0))(0, f(0)) y la recta y=2x−1y = 2x - 1 pasa por (0,−1)(0, -1):f(0)=C=−1f(0) = C = -1La pendiente de la tangente es f′(0)f'(0):f′(0)=B=2f'(0) = B = 2Tangente horizontal en x=1x = 1. Pendiente nula:f′(1)=4+2A+B=0  ⟹  4+2A+2=0  ⟹  A=−3f'(1) = 4 + 2A + B = 0 \;\Longrightarrow\; 4 + 2A + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; A = -3Por tanto,f(x)=x4−3x2+2x−1f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1Comprobación. f(0)=−1f(0) = -1 y f′(0)=2f'(0) = 2: la tangente en x=0x = 0 es y=−1+2xy = -1 + 2x ✓. f′(1)=4−6+2=0f'(1) = 4 - 6 + 2 = 0 ✓.

Tipo de extremo en x=1x = 1.f′′(1)=12−6=6>0f''(1) = 12 - 6 = 6 > 0La derivada segunda es positiva: la función es convexa (cóncava hacia arriba) en ese punto y hay un mínimo relativo. Su valor es f(1)=1−3+2−1=−1f(1) = 1 - 3 + 2 - 1 = -1.
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Consejo

Según los criterios, las tres condiciones con los valores de AA, BB y CC valen 2 puntos y la pregunta del extremo 0,5. El olvido más frecuente es usar solo la pendiente de la tangente en x=0x = 0 (f′(0)=2f'(0) = 2) y no la condición de que el punto está en la recta (f(0)=−1f(0) = -1): sin ella, CC queda sin determinar.

Si f′′(1)f''(1) hubiera salido 0, el criterio no decidiría y tendrías que estudiar el signo de f′f' a ambos lados.
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