Sean los puntos A = (0, 2, 1), B = (1, b, 0), C = (-1, 0, 2) y D = (1, 1, 1). a) Calcular el valor de b para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) El plano que contiene a los puntos A, B, C y D es perpendicular al segmento PQ y lo divide en dos partes iguales. Si P = (1, 2, -3), calcular las coordenadas de Q.

- a) b = 4 (el plano es x + y + 3z = 5). - b) Q = (3, 4, 3).

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sean los puntos

A = (0, 2, 1)

B = (1, b, 0)

C = (-1, 0, 2)

D = (1, 1, 1)

.

a) Calcular el valor de

b

para que

A

B

C

D

estén en el mismo plano.

b) El plano que contiene a los puntos

A

B

C

D

es perpendicular al segmento

PQ

y lo divide en dos partes iguales. Si

P = (1, 2, -3)

, calcular las coordenadas de

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) $b = 4$ (el plano es $x + y + 3z = 5$ ).
b) $Q = (3, 4, 3)$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), tres de los puntos (

A

C

D

) no dependen de

b

: con ellos hallamos el plano, y luego exigimos que

B

esté en él. (También se puede pedir que el producto mixto de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AD}

sea cero.)

En b), un plano perpendicular al segmento

PQ

que lo corta por la mitad es su plano mediador:

Q

es el simétrico de

P

respecto de ese plano. Se traza la recta perpendicular al plano por

P

, se halla su corte

M

con el plano (el punto medio) y se usa

M = \frac{P + Q}{2}

Desarrollo

a) Plano por $A$ , $C$ y $D$ .

\overrightarrow{AC} = (-1, -2, 1), \qquad \overrightarrow{AD} = (1, -1, 0)

\vec n = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \big((-2)\cdot 0 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot 1 - (-1)\cdot 0,\ (-1)(-1) - (-2)\cdot 1\big) = (1, 1, 3)

El plano es

x + y + 3z + E = 0

y, por

A

0 + 2 + 3 + E = 0 \Rightarrow E = -5

\pi: x + y + 3z = 5

Comprobación:

C

-1 + 0 + 6 = 5

✓;

D

1 + 1 + 3 = 5

✓. Como

\vec n \neq \vec 0

A

C

D

no están alineados y el plano es único.

Condición para $B$ . Sustituyendo

B = (1, b, 0)

1 + b + 0 = 5 \;\Longrightarrow\; b = 4

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . Su director es

\vec n = (1, 1, 3)

s: (x, y, z) = (1 + t,\ 2 + t,\ -3 + 3t)

Punto medio $M = s \cap \pi$ .

(1 + t) + (2 + t) + 3(-3 + 3t) = 5 \;\Longrightarrow\; 11t - 6 = 5 \;\Longrightarrow\; t = 1 \;\Longrightarrow\; M = (2, 3, 0)

Simétrico. De

M = \frac{P + Q}{2}

Q = 2M - P = (4 - 1,\ 6 - 2,\ 0 + 3) = (3, 4, 3)

Comprobación.

\overrightarrow{PQ} = (2, 2, 6) = 2\,(1, 1, 3)

, paralelo a

\vec n

✓, y el punto medio de

PQ

(2, 3, 0)

, cumple

2 + 3 + 0 = 5

✓.

Consejo

Cada apartado vale 1,25 puntos según los criterios. En b), el error típico es dar como respuesta el punto medio $M = (2, 3, 0)$ en lugar de $Q$ : el corte con el plano es solo la mitad del camino.

Para el plano de a) elige los tres puntos que no llevan el parámetro: así no arrastras $b$ por el producto vectorial.