Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Enunciado

Sean

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Calcular la matriz

X

de orden

2 \times 2

que verifica

A^2 \cdot X + B = C.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una ecuación matricial: se despeja

X

como en una ecuación normal, con dos precauciones. Para «quitar»

A^2

hay que multiplicar por su inversa, y por el mismo lado en que está (por la izquierda), porque el producto de matrices no es conmutativo. Antes, comprobamos que

A^2

tiene inversa.

Desarrollo

Despeje.

A^2 X = C - B \;\Longrightarrow\; X = (A^2)^{-1}\,(C - B)

Cálculo de $A^2$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 - 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}

Inversa de $A^2$ .

|A^2| = 1 \neq 0

, así que existe. Para una matriz

2 \times 2

, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia de signo la secundaria y se divide entre el determinante:

(A^2)^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Cálculo de $C - B$ .

C - B = \begin{pmatrix} 2 - 2 & 2 - 0 \\ 0 - 2 & 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

Cálculo de $X$ .

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 - 2 & 8 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}

Comprobación.

A^2 X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = C - B

✓.

Consejo

El error típico es escribir $X = (C - B)\,(A^2)^{-1}$ : la inversa va a la izquierda porque $A^2$ multiplica a $X$ por la izquierda. Los criterios dan 1,25 puntos al planteamiento con la inversa de $A^2$ y 1,25 al cálculo de $X$ , así que el despeje bien razonado ya vale la mitad.

Comprueba siempre al final que $A^2 X + B$ da $C$ : son dos productos de $2 \times 2$ y te asegura la nota.