Dibujar el recinto limitado por las parábolas y = 4x - x^2 e y = x^2 - 6 y calcular su área.

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Enunciado

Dibujar el recinto limitado por las parábolas

y = 4x - x^2

y = x^2 - 6

y calcular su área.

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Resultado

Las parábolas se cortan en

(-1, -5)

(3, 3)

; entre ellas,

y = 4x - x^2

va por encima de

y = x^2 - 6

\text{Área} = \frac{64}{3} \approx 21{,}33\ \text{u}^2

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Estrategia

Primero, dónde se cortan las dos parábolas: esos puntos son los límites de integración. Después, un esbozo para ver cuál va por encima entre los cortes. El área es la integral de «la de arriba menos la de abajo» entre los dos cortes, que se calcula con la regla de Barrow.

Desarrollo

Puntos de corte.

4x - x^2 = x^2 - 6 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 4x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{2 \pm 4}{2} = \begin{cases} -1 \\ 3 \end{cases}

Con

y = x^2 - 6

: en

x = -1

y = -5

; en

x = 3

y = 3

. Las parábolas se cortan en

(-1, -5)

(3, 3)

.

Esbozo del recinto.

$y = 4x - x^2$ es una parábola hacia abajo, con vértice en $(2, 4)$ y que corta al eje $X$ en $x = 0$ y $x = 4$ .
$y = x^2 - 6$ es una parábola hacia arriba, con vértice en $(0, -6)$ y que corta al eje $X$ en $x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45$ .

El dibujo muestra las dos parábolas cruzándose en

(-1, -5)

(3, 3)

; el recinto es la región en forma de lente que queda entre ellas para

-1 \le x \le 3

, con la parábola

y = 4x - x^2

como borde superior (llega hasta su vértice

(2, 4)

) y

y = x^2 - 6

como borde inferior (baja hasta su vértice

(0, -6)

). Por ejemplo, en

x = 0

4\cdot 0 - 0 = 0 > -6

, así que, efectivamente,

4x - x^2

va por encima en todo el intervalo.

Área. La diferencia es

(4x - x^2) - (x^2 - 6) = -2x^2 + 4x + 6

\text{Área} = \int_{-1}^{3} \left(-2x^2 + 4x + 6\right) dx = \left[-\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 6x\right]_{-1}^{3}

Con la regla de Barrow:

\left(-18 + 18 + 18\right) - \left(\frac{2}{3} + 2 - 6\right) = 18 - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{64}{3}

Da lo mismo que esté por encima o por debajo del eje

X

: integramos la diferencia de las dos curvas, que es positiva en todo el intervalo.

Consejo

Los criterios dan 1,25 puntos al dibujo y a los puntos de corte y 1,25 al área con Barrow: el dibujo cuenta de verdad. Marca en él los vértices y los dos puntos de corte, y sombrea el recinto.

Cuando el recinto lo limitan dos curvas, no hace falta partir la integral donde cruzan el eje $X$ : solo importa cuál va por encima de cuál.

Paso 1 de 3

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