Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Dominio. $x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm 2$, así que $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

Derivada. Con la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2 - 4) - (x - 4)\cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2 + 8x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 4}{(x^2 - 4)^2}$$Puntos críticos. $-x^2 + 8x - 4 = 0 \iff x^2 - 8x + 4 = 0$:$$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$$es decir, $x_1 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0{,}54$ y $x_2 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7{,}46$. Los dos están en el dominio.

Signo de $f'$. El denominador es positivo, así que manda el numerador $-x^2 + 8x - 4$, una parábola hacia abajo: positiva entre sus raíces y negativa fuera. Ordenando los puntos clave $-2 < x_1 < 2 < x_2$:(Por ejemplo, $f'(0) = \frac{-4}{16} < 0$, $f'(1) = \frac{3}{9} > 0$, $f'(3) = \frac{11}{25} > 0$ y $f'(8) = \frac{-4}{3600} < 0$.)

Extremos. En $x_1 = 4 - 2\sqrt{3}$ la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. En $x_2 = 4 + 2\sqrt{3}$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo. En $x = \pm 2$ no hay extremos (no están en el dominio; son asíntotas verticales).

Valores. Para $x_2$: $x_2 - 4 = 2\sqrt{3}$ y $x_2^2 - 4 = 24 + 16\sqrt{3} = 8(3 + 2\sqrt{3})$, así que$$f(x_2) = \frac{2\sqrt{3}}{8(3 + 2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}\,(3 - 2\sqrt{3})}{4\,(9 - 12)} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}067$$Para $x_1$: $x_1 - 4 = -2\sqrt{3}$ y $x_1^2 - 4 = 24 - 16\sqrt{3} = 8(3 - 2\sqrt{3})$, así que$$f(x_1) = \frac{-2\sqrt{3}}{8(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3}\,(3 + 2\sqrt{3})}{4\,(9 - 12)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}933$$Que el mínimo esté «más alto» que el máximo no es un error: son extremos relativos en ramas distintas de la gráfica. En $(-2, 2)$ la función tiende a $+\infty$ en los dos extremos del intervalo y tiene ahí su mínimo; en $(2, +\infty)$ sube desde $-\infty$ hasta el máximo y luego baja hacia 0.