Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Enunciado

Sea

r

la recta de ecuaciones paramétricas

\{x = t,\ y = 2 + 2t,\ z = 1 + 3t\},

y sean

A = (1, 2, 3)

B = (3, 2, 1)

. Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta

r

y que pasa por los puntos

A

B

. Calcular la distancia de la recta

r

a ese plano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Plano: $\pi: x - 2y + z = 0$ .
Distancia: $d(r, \pi) = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22$ u.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano queda fijado por un punto y dos vectores directores. Que sea paralelo a

r

significa que contiene la dirección de

r

\vec v

; que pase por

A

B

significa que contiene el vector

\overrightarrow{AB}

. Su normal es entonces

\vec v \times \overrightarrow{AB}

.

Como la recta es paralela al plano, todos sus puntos están a la misma distancia de él: basta con la distancia de un punto de

r

al plano.

Desarrollo

Vectores directores del plano. De las paramétricas,

\vec v = (1, 2, 3)

y un punto de

r

P_r = (0, 2, 1)

(con

t = 0

). Además,

\overrightarrow{AB} = (3, 2, 1) - (1, 2, 3) = (2, 0, -2)

Vector normal.

\vec v \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \big(2\cdot(-2) - 3\cdot 0,\ 3\cdot 2 - 1\cdot(-2),\ 1\cdot 0 - 2\cdot 2\big) = (-4, 8, -4)

Tomamos el proporcional

\vec n = (1, -2, 1)

.

Ecuación del plano.

x - 2y + z + D = 0

y, como pasa por

A

1 - 4 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = 0

\pi: x - 2y + z = 0

Comprobaciones.

B

3 - 4 + 1 = 0

✓. Paralelismo:

\vec v \cdot \vec n = 1 - 4 + 3 = 0

✓, y

P_r

no está en el plano (

0 - 4 + 1 = -3 \neq 0

), así que

r

es paralela al plano y no está contenida en él.

Distancia de $r$ al plano. Es la de

P_r = (0, 2, 1)

\pi

d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|0 - 2\cdot 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22\ \text{u}

Consejo

Según los criterios, el plano vale 1,5 puntos y la distancia 1. Antes de calcular la distancia comprueba que $\vec v \cdot \vec n = 0$ : si no saliera cero, la recta cortaría al plano y la distancia sería 0, señal de que el plano está mal.

No olvides el valor absoluto del numerador ni racionalizar al final: $\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .