Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -1 \\ 2 & \alpha & 1 \\ 1 & -\alpha & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 2 & -1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 & 2 + \alpha \\ 1 & -\alpha & 2 & 2\alpha \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = \alpha\,(2\alpha + \alpha) - 2\,(4 - 1) + (-1)\,(-2\alpha - \alpha) = 3\alpha^2 - 6 + 3\alpha = 3(\alpha^2 + \alpha - 2) = 3(\alpha + 2)(\alpha - 1)$$Se anula para $\alpha = -2$ y $\alpha = 1$.

Caso $\alpha \neq -2$ y $\alpha \neq 1$. $|A| \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = -2$. El sistema queda$$\begin{cases} -2x + 2y - z = -2 \\ 2x - 2y + z = 0 \\ x + 2y + 2z = -4 \end{cases}$$Los coeficientes de la primera ecuación son los de la segunda cambiados de signo, pero los términos independientes no ($-2$ frente a $0$): la primera dice $2x - 2y + z = 2$ y la segunda $2x - 2y + z = 0$. Es imposible. Con rangos: el menor $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$ da $\text{rg}(A) = 2$, y en la ampliada$$\begin{vmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = -2(-4 - 0) - (-1)(-8 - 0) + (-2)(4 - 1) = 8 - 8 - 6 = -6 \neq 0$$(columnas de $x$, $z$ y términos independientes), así que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: sistema incompatible.

Caso $\alpha = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 3 \\ x - y + 2z = 2 \end{cases}$$Restando la primera a la segunda sale $x - y + 2z = 2$, que es justo la tercera: $F_3 = F_2 - F_1$, también en los términos independientes. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con un parámetro.

Resolución para $\alpha = 1$. Nos quedamos con la primera y la tercera ecuación. Restándolas:$$(x + 2y - z) - (x - y + 2z) = 1 - 2 \;\Longrightarrow\; 3y - 3z = -1 \;\Longrightarrow\; y = z - \tfrac{1}{3}$$Tomando $z = \lambda$: $y = \lambda - \frac{1}{3}$ y, de la tercera, $x = 2 + y - 2z = 2 + \lambda - \frac{1}{3} - 2\lambda = \frac{5}{3} - \lambda$.$$(x, y, z) = \left(\tfrac{5}{3} - \lambda,\ \lambda - \tfrac{1}{3},\ \lambda\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación con $\lambda = 0$, el punto $\left(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, 0\right)$: $\frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1$ ✓; $\frac{10}{3} - \frac{1}{3} = 3$ ✓; $\frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2$ ✓.