Matemáticas IIMedio2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

El delantero de un equipo de fútbol, que suele marcar en tres quintas partes de sus disparos a puerta, ha de lanzar una tanda de penaltis en un entrenamiento.

a) (0,5 puntos) Calcule la probabilidad de no marcar si la tanda es de cuatro disparos.

b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que marque más de dos penaltis en la tanda de cuatro disparos.

c) (1 punto) Calcule cuántos penaltis debería lanzar para que la probabilidad de marcar al menos un tanto sea mayor que 0,999.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \tfrac{16}{625} = 0{,}0256 \qquad \text{b)}\ \tfrac{297}{625} = 0{,}4752 \qquad \text{c)}\ n \geq 8 \text{ penaltis}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada disparo es un ensayo con dos resultados (marca o no), con la misma probabilidad de éxito

p = \frac{3}{5}

e independiente de los demás. El número de goles en

n

disparos es una binomial

B(n;\ 0{,}6)

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}

En a) y b)

n = 4

. En c) la incógnita es

n

: «al menos un gol» se calcula por el contrario («ningún gol») y queda una inecuación exponencial que se resuelve con logaritmos.

Desarrollo

Sea

X

= «número de penaltis marcados». Con

n = 4

X \sim B\left(4;\ \frac{3}{5}\right)

.

a) No marcar ninguno:

P(X = 0) = \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} = 0{,}0256

b) Más de dos es marcar 3 o 4:

P(X = 3) = \binom{4}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^3\frac{2}{5} = 4\cdot\frac{27}{125}\cdot\frac{2}{5} = \frac{216}{625}

P(X = 4) = \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \frac{81}{625}

P(X > 2) = \frac{216 + 81}{625} = \frac{297}{625} = 0{,}4752

c) Con

n

disparos,

X \sim B(n;\ 0{,}6)

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}4^n

Se pide

1 - 0{,}4^n > 0{,}999

, es decir,

0{,}4^n < 0{,}001

. Tomando logaritmos (el logaritmo de

0{,}4

es negativo, así que la desigualdad cambia de sentido al dividir):

n\ln 0{,}4 < \ln 0{,}001 \;\Longrightarrow\; n > \frac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}4} = \frac{-6{,}9078}{-0{,}9163} \approx 7{,}54

Hay que lanzar al menos 8 penaltis. Comprobación:

0{,}4^7 = 0{,}0016384 > 0{,}001

(con 7 no basta) y

0{,}4^8 = 0{,}00065536 < 0{,}001

✓, que da

P(X \geq 1) \approx 0{,}99934

Consejo

«Al menos uno» casi siempre se calcula por el suceso contrario: $1 - P(\text{ninguno})$ .

Al despejar $n$ con logaritmos, recuerda que $\ln 0{,}4 < 0$ : dividir entre él invierte la desigualdad. Y como $n$ es un número de disparos, la respuesta es el primer entero que cumple la condición; comprueba el anterior para estar seguro.