Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos
Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)
Enunciado
En un laboratorio se lanza un rayo láser desde el punto P(2,3,−5)P(2, 3, -5) en la dirección del vector v⃗=(−1,−2,2)\vec v = (-1, -2, 2), para que impacte en una placa metálica plana de ecuación π≡3x−2y−2z=1\pi \equiv 3x - 2y - 2z = 1, con el fin de perforar un orificio.

a) (0,75 puntos) Calcule las coordenadas del punto de impacto.

b) (0,75 puntos) Si el ángulo entre el láser y el plano es menor a 45∘45^\circ, el rayo será reflejado y no se realizará el orificio. Determine si ese es el caso.

c) (1 punto) Para optimizar la velocidad de perforación, se decide lanzar el rayo desde PP en dirección perpendicular a π\pi, y lanzar simultáneamente otro rayo, también perpendicular a π\pi, desde un punto situado al otro lado del plano y a la misma distancia de π\pi que PP. ¿Dónde habría que situar el origen del segundo rayo para que ambos impacten en el mismo punto del plano?
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Resultado
a) (−1,−3,1)b) sen⁡α=117, α≈14,04∘<45∘: se refleja\boxed{\text{a)}\ (-1, -3, 1) \qquad \text{b)}\ \operatorname{sen}\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{17}},\ \alpha \approx 14{,}04^\circ < 45^\circ:\ \text{se refleja}}c) P′=(−2017, 8717, −4917)\boxed{\text{c)}\ P' = \left(-\tfrac{20}{17},\ \tfrac{87}{17},\ -\tfrac{49}{17}\right)}
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Estrategia

El rayo es la recta que pasa por PP con dirección v⃗\vec v. El punto de impacto es la intersección recta-plano: se sustituye la paramétrica en la ecuación del plano.

El ángulo α\alpha entre una recta y un plano es el complementario del que forman v⃗\vec v y el normal n⃗=(3,−2,−2)\vec n = (3, -2, -2), así que se calcula con el seno: sen⁡α=∣v⃗⋅n⃗∣∣v⃗∣ ∣n⃗∣\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}.

En c) los dos rayos van por la perpendicular a π\pi que pasa por PP, y el segundo origen está al otro lado y a la misma distancia: es el simétrico P′P' de PP respecto de π\pi. Se halla con la proyección OO de PP sobre el plano, que es el punto medio de PP′PP'.
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Desarrollo

a) Recta del láser:(x,y,z)=(2−λ, 3−2λ, −5+2λ),λ∈R(x, y, z) = (2 - \lambda,\ 3 - 2\lambda,\ -5 + 2\lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}Sustituyendo en π\pi:3(2−λ)−2(3−2λ)−2(−5+2λ)=1  ⟹  6−3λ−6+4λ+10−4λ=1  ⟹  10−3λ=1  ⟹  λ=33(2 - \lambda) - 2(3 - 2\lambda) - 2(-5 + 2\lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; 6 - 3\lambda - 6 + 4\lambda + 10 - 4\lambda = 1 \;\Longrightarrow\; 10 - 3\lambda = 1 \;\Longrightarrow\; \lambda = 3Punto de impacto: I=(2−3, 3−6, −5+6)=(−1,−3,1)I = (2 - 3,\ 3 - 6,\ -5 + 6) = (-1, -3, 1).

Comprobación: 3(−1)−2(−3)−2(1)=−3+6−2=13(-1) - 2(-3) - 2(1) = -3 + 6 - 2 = 1 ✓.

b) Con v⃗=(−1,−2,2)\vec v = (-1, -2, 2) y n⃗=(3,−2,−2)\vec n = (3, -2, -2):v⃗⋅n⃗=−3+4−4=−3,∣v⃗∣=1+4+4=3,∣n⃗∣=9+4+4=17\vec v\cdot\vec n = -3 + 4 - 4 = -3, \qquad |\vec v| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad |\vec n| = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}sen⁡α=∣−3∣317=117≈0,2425  ⟹  α≈14,04∘\operatorname{sen}\alpha = \frac{|-3|}{3\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \approx 0{,}2425 \;\Longrightarrow\; \alpha \approx 14{,}04^\circComo sen⁡α=117<22=sen⁡45∘\operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}45^\circ, el ángulo es menor que 45∘45^\circ: el rayo se refleja y no se perfora el orificio.

c) Recta perpendicular a π\pi por PP, con dirección n⃗\vec n:(x,y,z)=(2+3μ, 3−2μ, −5−2μ)(x, y, z) = (2 + 3\mu,\ 3 - 2\mu,\ -5 - 2\mu)Su corte con π\pi (la proyección OO de PP, donde impactan los dos rayos):3(2+3μ)−2(3−2μ)−2(−5−2μ)=1  ⟹  10+17μ=1  ⟹  μ=−9173(2 + 3\mu) - 2(3 - 2\mu) - 2(-5 - 2\mu) = 1 \;\Longrightarrow\; 10 + 17\mu = 1 \;\Longrightarrow\; \mu = -\frac{9}{17}O=(2−2717, 3+1817, −5+1817)=(717, 6917, −6717)O = \left(2 - \frac{27}{17},\ 3 + \frac{18}{17},\ -5 + \frac{18}{17}\right) = \left(\frac{7}{17},\ \frac{69}{17},\ -\frac{67}{17}\right)OO es el punto medio de PP y su simétrico P′P', que corresponde a μ=2⋅(−917)=−1817\mu = 2\cdot\left(-\frac{9}{17}\right) = -\frac{18}{17}:P′=(2−5417, 3+3617, −5+3617)=(−2017, 8717, −4917)P' = \left(2 - \frac{54}{17},\ 3 + \frac{36}{17},\ -5 + \frac{36}{17}\right) = \left(-\frac{20}{17},\ \frac{87}{17},\ -\frac{49}{17}\right)Comprobación: OO está en π\pi: 21−138+13417=1717=1\frac{21 - 138 + 134}{17} = \frac{17}{17} = 1 ✓. Y PP y P′P' quedan a lados opuestos: 3⋅2−2⋅3−2(−5)−1=9>03\cdot 2 - 2\cdot 3 - 2(-5) - 1 = 9 > 0 y −60−174+9817−1=−9<0\frac{-60 - 174 + 98}{17} - 1 = -9 < 0, con el mismo valor absoluto (misma distancia, 917\frac{9}{\sqrt{17}}) ✓.
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Consejo

El ángulo entre recta y plano se calcula con el seno, no con el coseno: el producto escalar de v⃗\vec v y n⃗\vec n da el ángulo con la normal, que es el complementario. Con el coseno saldría unos 76∘76^\circ y la conclusión sería la contraria.

Para el simétrico respecto de un plano, el truco del parámetro doble (μ′=2μ\mu' = 2\mu) ahorra calcular el punto medio por separado.
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