Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Sea la función

f(x) = \sqrt[5]{(x-2)^2}

.

a) (0,5 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad en

[-2, 4]

.

b) (1,25 puntos) Analice crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos absolutos de

f

[-2, 4]

.

c) (0,75 puntos) Determine si la función

g(x) = f'(x)

es continua en

x = 2

y si tiene recta tangente en dicho punto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{continua en } [-2, 4];\ \text{derivable salvo en } x = 2}

\boxed{\text{b)}\ \searrow [-2, 2),\ \nearrow (2, 4];\ \text{mín. abs. } (2, 0),\ \text{máx. abs. } \left(-2, \sqrt[5]{16}\right)}

\boxed{\text{c)}\ g = f' \text{ no es continua en } x = 2 \text{ ni tiene recta tangente allí}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Conviene escribir la función como potencia:

f(x) = (x - 2)^{2/5}

. Es la composición de un polinomio con la raíz quinta, que está definida y es continua en todo

\mathbb{R}

(es de índice impar y, además, el radicando

(x-2)^2

nunca es negativo). La raíz quinta no es derivable en

0

, así que el punto delicado es

x = 2

.

Con la derivada,

f'(x) = \frac{2}{5}(x - 2)^{-3/5}

, se estudia el signo para la monotonía. Los extremos absolutos en un intervalo cerrado se buscan entre los puntos críticos (donde

f' = 0

o no existe) y los extremos del intervalo.

En c),

g = f'

no está definida en

x = 2

: ni puede ser continua allí ni tener recta tangente.

Desarrollo

f(x) = (x - 2)^{2/5}

es composición de

u = (x - 2)^2

, polinomio continuo y derivable en

\mathbb{R}

, y de

\sqrt[5]{u}

, continua en

\mathbb{R}

y derivable en

\mathbb{R} \setminus \{0\}

. Por tanto

f

es continua en todo $[-2, 4]$ .

Para

x \neq 2

, por la regla de la cadena:

f'(x) = \frac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \frac{2}{5\sqrt[5]{(x - 2)^3}}

x = 2

uso la definición:

\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2/5}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{3/5}} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[5]{h^3}}

que vale

+\infty

por la derecha y

-\infty

por la izquierda. No existe la derivada: $f$ es derivable en $[-2, 4]$ salvo en $x = 2$ (allí la gráfica tiene un pico con tangente vertical).

b) El signo de

f'(x)

es el de

\sqrt[5]{(x - 2)^3}

, es decir, el de

x - 2

en $[-2, 2)$ , $f'(x) < 0$ : $f$ decrece;
en $(2, 4]$ , $f'(x) > 0$ : $f$ crece.

Candidatos a extremos absolutos: el punto crítico

x = 2

(donde

f'

no existe) y los extremos del intervalo.

f(-2) = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}741, \qquad f(2) = 0, \qquad f(4) = \sqrt[5]{4} \approx 1{,}320

Mínimo absoluto en $(2, 0)$ (también relativo: decrece antes y crece después; además $f \geq 0$ siempre).
Máximo absoluto en $\left(-2, \sqrt[5]{16}\right)$ , porque $16 > 4$ .

g(x) = f'(x) = \dfrac{2}{5\sqrt[5]{(x - 2)^3}}

no está definida en

x = 2

, y además

\lim_{x \to 2^-} g(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} g(x) = +\infty

Así que $g$ no es continua en $x = 2$ (tiene una asíntota vertical), y al no estar definida ni ser continua allí, tampoco es derivable: no tiene recta tangente en $x = 2$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un intervalo cerrado, el máximo y el mínimo absolutos están siempre entre tres tipos de candidatos: los puntos con $f' = 0$ , los puntos donde $f'$ no existe y los extremos del intervalo. Aquí el mínimo está en un punto sin derivada y el máximo, en un extremo: si solo buscas $f'(x) = 0$ , no encuentras ninguno.

Para la derivabilidad en el punto conflictivo, usa la definición (o los límites laterales de $f'$ ): que la fórmula de $f'$ no se pueda evaluar en $x = 2$ es una pista, no una justificación.