Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una tienda online de productos gourmet elabora tres tipos de cafés exclusivos, el Gold Cuvée (a 7,85 euros/kg), el Paradiso (a 13,3 euros/kg) y el Cremissimo (a 24,85 euros/kg). Para ello utiliza solo dos tipos de grano, el Arábica y el Robusta. El Gold Cuvée tiene un 90 % de grano tipo Arábica, el Paradiso un 85 % y el Cremissimo un 80 %.

A lo largo de un mes han necesitado utilizar 27,1 kg de grano del tipo Robusta para atender todos los pedidos y han ingresado un total de 3112,5 euros. Sabiendo que se ha vendido doble cantidad de café Cremissimo que de las otras dos especialidades juntas, se pide calcular los kilogramos de grano del tipo Arábica que se han utilizado a lo largo de ese mes.

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Resultado

\boxed{x = 30 \text{ kg},\ y = 22 \text{ kg},\ z = 104 \text{ kg} \;\Longrightarrow\; \text{Arábica} = 128{,}9 \text{ kg}}

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Estrategia

Las incógnitas naturales no son los kilos de Arábica, sino los kilos vendidos de cada café:

x

de Gold Cuvée,

y

de Paradiso y

z

de Cremissimo. Con ellos cada frase del enunciado es una ecuación:

el grano Robusta es lo que falta para el 100 %: un 10 %, un 15 % y un 20 % de cada café;
los ingresos son kilos por precio;
«doble cantidad de Cremissimo que de las otras dos juntas» es $z = 2(x + y)$ .

Resuelto el sistema, el Arábica sale de los porcentajes (o, más rápido, del total de café menos el Robusta).

Desarrollo

Planteamiento.

\left\{\begin{array}{l} 0{,}10x + 0{,}15y + 0{,}20z = 27{,}1 \quad (\text{grano Robusta}) \\ 7{,}85x + 13{,}3y + 24{,}85z = 3112{,}5 \quad (\text{ingresos}) \\ z = 2(x + y) \end{array}\right.

Multiplico las dos primeras por 20 para quitar decimales:

\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y + 4z = 542 \\ 157x + 266y + 497z = 62250 \\ 2x + 2y - z = 0 \end{array}\right.

El sistema es compatible determinado: su determinante es

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 157 & 266 & 497 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(-266 - 994) - 3(-157 - 994) + 4(314 - 532) = -2520 + 3453 - 872 = 61 \neq 0

Resolución. Sustituyo

z = 2x + 2y

en las otras dos:

2x + 3y + 8x + 8y = 542 \;\Longrightarrow\; 10x + 11y = 542

157x + 266y + 994x + 994y = 62250 \;\Longrightarrow\; 1151x + 1260y = 62250

De la primera,

y = \dfrac{542 - 10x}{11}

. En la segunda, multiplicando por 11:

12661x + 1260(542 - 10x) = 684750 \;\Longrightarrow\; 12661x - 12600x = 684750 - 682920 \;\Longrightarrow\; 61x = 1830

x = 30, \qquad y = \frac{542 - 300}{11} = 22, \qquad z = 2(30 + 22) = 104

Se vendieron 30 kg de Gold Cuvée, 22 kg de Paradiso y 104 kg de Cremissimo.

Grano Arábica.

0{,}90\cdot 30 + 0{,}85\cdot 22 + 0{,}80\cdot 104 = 27 + 18{,}7 + 83{,}2 = 128{,}9 \text{ kg}

Comprobación. Total de café:

30 + 22 + 104 = 156

kg, y

156 - 27{,}1 = 128{,}9

kg de Arábica ✓. Ingresos:

7{,}85\cdot 30 + 13{,}3\cdot 22 + 24{,}85\cdot 104 = 235{,}5 + 292{,}6 + 2584{,}4 = 3112{,}5

euros ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No intentes poner como incógnita el Arábica: el enunciado da los datos por tipo de café, y solo con los kilos de cada café se escriben las ecuaciones. Lo que pide el problema se calcula al final.

Quitar los decimales multiplicando cada ecuación entera por 20 evita la mayoría de los errores de cuentas. La corrección da 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada.

Paso 1 de 3

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