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Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

En el primer cajón de una mesita de noche hay 6 calcetines rojos y 4 verdes. En el segundo cajón de dicha mesita hay 4 calcetines rojos y 10 verdes. Se extrae aleatoriamente uno de los calcetines del primer cajón para introducirlo en el segundo cajón. Se extraen posteriormente dos calcetines del segundo cajón. Calcule la probabilidad de que estos dos calcetines sean del mismo color.

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Resultado

\boxed{P(\text{mismo color}) = \frac{2}{25} + \frac{7}{15} = \frac{41}{75} \approx 0{,}5467}

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Estrategia

Es un experimento en dos etapas, y lo que pasa en la segunda depende de la primera: el calcetín que se cambia de cajón altera la composición del segundo. Lo natural es un diagrama de árbol: primera rama, el color del calcetín que pasa (R o V); después, las dos extracciones sin reemplazamiento del segundo cajón, que ya tiene 15 calcetines.

«Mismo color» es la unión de dos sucesos incompatibles, «dos rojos» y «dos verdes», y cada uno se calcula con el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas de la primera etapa.

Desarrollo

Primera etapa. Del primer cajón (6 R, 4 V):

P(R_1) = \frac{6}{10}, \qquad P(V_1) = \frac{4}{10}

El segundo cajón (4 R, 10 V) pasa a tener 15 calcetines:

si pasa uno rojo: 5 R y 10 V;
si pasa uno verde: 4 R y 11 V.

Dos rojos (sin reemplazamiento,

15

y luego

14

calcetines):

P(RR) = \frac{6}{10}\cdot\frac{5}{15}\cdot\frac{4}{14} + \frac{4}{10}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{14} = \frac{120}{2100} + \frac{48}{2100} = \frac{168}{2100} = \frac{2}{25}

Dos verdes:

P(VV) = \frac{6}{10}\cdot\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14} + \frac{4}{10}\cdot\frac{11}{15}\cdot\frac{10}{14} = \frac{540}{2100} + \frac{440}{2100} = \frac{980}{2100} = \frac{7}{15}

Mismo color. «Dos rojos» y «dos verdes» son incompatibles, así que se suman:

P(\text{mismo color}) = \frac{2}{25} + \frac{7}{15} = \frac{6}{75} + \frac{35}{75} = \frac{41}{75} \approx 0{,}5467

Comprobación. Con el árbol completo, «distinto color» debe dar el complementario:

P(\text{distinto}) = \frac{6}{10}\cdot\frac{2\cdot 5\cdot 10}{15\cdot 14} + \frac{4}{10}\cdot\frac{2\cdot 4\cdot 11}{15\cdot 14} = \frac{600 + 352}{2100} = \frac{952}{2100} = \frac{34}{75}

\frac{41}{75} + \frac{34}{75} = 1

✓.

Consejo

La corrección da un punto por cada una de las dos probabilidades, «dos rojos» y «dos verdes», y medio por sumarlas. Escribe el árbol entero: cada camino es un producto y los caminos que llevan al mismo suceso se suman.

El error típico es olvidar que el segundo cajón tiene ya 15 calcetines, y que la segunda extracción es sobre 14 porque no hay reemplazamiento.

Paso 1 de 3

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