Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Desde el punto P1=(1,1,−1)P_1 = (1, 1, -1) se ha trazado una recta, rr, perpendicular a un plano, π\pi. El punto de intersección del plano con la recta es P2=(0,0,0)P_2 = (0, 0, 0). Se pide:

a) (1 punto) Hallar una ecuación de la recta rr.

b) (1 punto) Hallar una ecuación del plano π\pi.

c) (0,5 puntos) Hallar la distancia de P1P_1 al plano π\pi.
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Resultado
a) r≡(x,y,z)=λ(1,1,−1)b) π≡x+y−z=0c) d(P1,π)=3\boxed{\text{a)}\ r \equiv (x, y, z) = \lambda(1, 1, -1) \qquad \text{b)}\ \pi \equiv x + y - z = 0 \qquad \text{c)}\ d(P_1, \pi) = \sqrt{3}}
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Estrategia

La recta pasa por dos puntos conocidos, P1P_1 y P2P_2, así que su vector director es P2P1→\overrightarrow{P_2P_1}. Como rr es perpendicular a π\pi, ese mismo vector es un vector normal del plano, y el plano pasa por P2P_2, que es el pie de la perpendicular.

La distancia de P1P_1 a π\pi es justo la longitud del segmento perpendicular P1P2P_1P_2; se puede comprobar con la fórmula de la distancia punto-plano.
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Desarrollo

a) Vector director:u⃗=P2P1→=(1,1,−1)−(0,0,0)=(1,1,−1)\vec u = \overrightarrow{P_2P_1} = (1, 1, -1) - (0, 0, 0) = (1, 1, -1)La recta pasa por P2=(0,0,0)P_2 = (0, 0, 0):r≡(x,y,z)=λ (1,1,−1), λ∈Ro, en forma continua,r≡x1=y1=z−1r \equiv (x, y, z) = \lambda\,(1, 1, -1), \ \lambda \in \mathbb{R} \qquad \text{o, en forma continua,} \qquad r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}(P1P_1 corresponde a λ=1\lambda = 1.)

b) Como r⊥πr \perp \pi, un vector normal de π\pi es n⃗=(1,1,−1)\vec n = (1, 1, -1), y el plano pasa por P2=(0,0,0)P_2 = (0, 0, 0):π≡1(x−0)+1(y−0)−1(z−0)=0  ⟹  π≡x+y−z=0\pi \equiv 1(x - 0) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x + y - z = 0c) La distancia de P1P_1 a π\pi es la longitud del segmento P1P2P_1P_2, perpendicular al plano:d(P1,π)=∣P2P1→∣=12+12+(−1)2=3d(P_1, \pi) = |\overrightarrow{P_2P_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}Comprobación con la fórmula de la distancia punto-plano:d(P1,π)=∣1+1−(−1)∣12+12+(−1)2=33=3≈1,73d(P_1, \pi) = \frac{|1 + 1 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73
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Consejo

Una recta perpendicular a un plano y el plano comparten vector: el director de la recta es el normal del plano. Es la idea clave de todo el ejercicio.

Cuando ya conoces el pie de la perpendicular, la distancia es el módulo de un vector y no hace falta la fórmula; usarla como comprobación cuesta medio minuto.
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