Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Optimización

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Se quiere construir un acuario con forma de paralelepípedo recto, con tapa y base cuadradas. La tapa es de metacrilato, la base es de un material metálico y las caras verticales, de cristal. El metacrilato tiene un precio de 15 euros/m², el material metálico, de 90 euros/m², y el cristal, de 25 euros/m².

a) (0,75 puntos) Exprese la altura del acuario en función del lado de la base,

x

, y del coste total del material utilizado,

C

.

b) (1,75 puntos) Con un presupuesto de 1260 euros, ¿cuál es el volumen máximo del acuario que se puede construir con estas características?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ h = \frac{C - 105x^2}{100x}}

\boxed{\text{b)}\ x = 2 \text{ m},\ h = 4{,}2 \text{ m}:\ V_{\text{máx}} = \frac{84}{5} = 16{,}8 \text{ m}^3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamo

x

al lado de la base (y de la tapa) y

h

a la altura, en metros. El coste es la suma de cada superficie por su precio: la tapa y la base miden

x^2

cada una, y las cuatro caras verticales,

xh

cada una. Despejar

h

de esa igualdad es el apartado a).

En b) el coste está fijado (

C = 1260

), así que la altura queda en función de

x

y el volumen

V = x^2 h

pasa a ser una función de una sola variable. Se deriva, se iguala a cero y se comprueba que el punto crítico es un máximo dentro del dominio con sentido físico.

Desarrollo

a) Coste de cada parte:

tapa (metacrilato): $15x^2$ ;
base (metal): $90x^2$ ;
cuatro caras verticales (cristal): $25\cdot 4xh = 100xh$ .

C = 15x^2 + 90x^2 + 100xh = 105x^2 + 100xh

Despejando la altura:

h = \frac{C - 105x^2}{100x} \quad (\text{en metros, con } C \text{ en euros})

b) Con

C = 1260

h = \frac{1260 - 105x^2}{100x}, \qquad V(x) = x^2 h = \frac{x\,(1260 - 105x^2)}{100} = \frac{1260x - 105x^3}{100}

Dominio. Hace falta

x > 0

h > 0

, es decir,

105x^2 < 1260 \iff x^2 < 12

\;0 < x < 2\sqrt{3}

.

Derivada:

V'(x) = \frac{1260 - 315x^2}{100} = 0 \iff x^2 = \frac{1260}{315} = 4 \iff x = 2 \quad (x > 0)

Es un máximo:

V''(x) = -\frac{630x}{100}

, y

V''(2) = -12{,}6 < 0

. (También:

V' > 0

(0, 2)

V' < 0

(2, 2\sqrt{3})

, así que es el máximo absoluto en el dominio.)

Dimensiones y volumen:

h = \frac{1260 - 105\cdot 4}{100\cdot 2} = \frac{840}{200} = 4{,}2 \text{ m}, \qquad V(2) = \frac{2520 - 840}{100} = \frac{84}{5} = 16{,}8 \text{ m}^3

Comprobación del coste:

105\cdot 4 + 100\cdot 2\cdot 4{,}2 = 420 + 840 = 1260

euros ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dato que más se olvida es que la tapa y la base cuestan distinto: no es $2x^2$ por un solo precio, sino $15x^2 + 90x^2$ . Y las caras verticales son cuatro rectángulos de $x$ por $h$ .

Termina siempre comprobando que el punto crítico es un máximo (segunda derivada o signo de la primera) y da las dimensiones: la corrección puntúa el planteamiento por separado.

Paso 1 de 3

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