Matrices

a) Desarrollo por la primera fila:$$|A| = 0\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} m & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -m + (-1) = -m - 1$$$|A| = 0 \iff m = -1$. Por tanto, $A$ es invertible si y solo si $m \neq -1$.

Adjuntos de cada elemento ($A_{ij} = (-1)^{i+j}$ por el menor que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$):$$A_{11} = 1, \quad A_{12} = -m, \quad A_{13} = -1$$$$A_{21} = -1, \quad A_{22} = -1, \quad A_{23} = 1$$$$A_{31} = -1, \quad A_{32} = m, \quad A_{33} = -m$$La adjunta traspuesta lleva cada fila de adjuntos como columna:$$\operatorname{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -m & -1 & m \\ -1 & 1 & -m \end{pmatrix}$$y, dividiendo entre $|A| = -(m + 1)$:$$A^{-1} = \frac{1}{m + 1}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ m & 1 & -m \\ 1 & -1 & m \end{pmatrix}, \qquad m \neq -1$$Comprobación de la primera fila de $A\,A^{-1}$ (sin el factor $\frac{1}{m+1}$): $(0, 1, 1)$ por las columnas da $m + 1$, $1 - 1 = 0$ y $-m + m = 0$, que es $(m + 1)(1, 0, 0)$ ✓.

b) Matriz ampliada:$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 0 \\ m & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$Caso $m \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $m = -1$. El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlo con la columna de términos independientes (columnas 1, 2 y 4):$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1\cdot(0 - 1) = 1 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a ojo: con $m = -1$ la primera fila de $A$ menos la segunda es $(1, 0, 1)$, la tercera, pero en los términos independientes $0 - 1 = -1 \neq 0$.

c) Con $m = 2$ el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 0 \\ 2x + y = 1 \\ x + z = 0 \end{array}\right.$$De la primera y la tercera, $z = -y$ y $z = -x$, luego $y = x$. En la segunda: $2x + x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.$$x = \frac{1}{3}, \qquad y = \frac{1}{3}, \qquad z = -\frac{1}{3}$$Con la inversa de a) para $m = 2$ sale lo mismo: $A^{-1}B = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (es la segunda columna de $A^{-1}$).

Comprobación: $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$ ✓, $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓, $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$ ✓.