Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Una estación de medición de calidad del aire mide niveles de

\text{NO}_2

y de partículas en suspensión. La probabilidad de que en un día se mida un nivel de

\text{NO}_2

superior al permitido es

0{,}16

. En los días en los que se supera el nivel permitido de

\text{NO}_2

, la probabilidad de que se supere el nivel permitido de partículas es

0{,}33

. En los días en los que no se supera el nivel de

\text{NO}_2

, la probabilidad de que se supere el nivel de partículas es

0{,}08

.

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se superen los dos niveles permitidos?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se supere al menos uno de los dos?

c) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos «en un día se supera el nivel permitido de

\text{NO}_2

» y «en un día se supera el nivel permitido de partículas»?

d) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se supere el nivel permitido de

\text{NO}_2

, sabiendo que no se ha superado el nivel permitido de partículas?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ 0{,}0528 \qquad \text{b)}\ P(S) = 0{,}12,\ P(N \cup S) = 0{,}2272}

\boxed{\text{c)}\ \text{No: } 0{,}16\cdot 0{,}12 = 0{,}0192 \neq 0{,}0528 \qquad \text{d)}\ \frac{0{,}1072}{0{,}88} \approx 0{,}1218}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es poner nombre a los sucesos y fijarse en que el enunciado da probabilidades condicionadas a lo que pasa con el

\text{NO}_2

. Eso pide un diagrama de árbol: primera rama, si se supera o no el

\text{NO}_2

; segunda rama, si se superan o no las partículas.

Con el árbol, a) es el producto de una rama; b) necesita la probabilidad total de las partículas y la fórmula de la unión; c) se resuelve comparando

P(N \cap S)

con

P(N)\,P(S)

; y d) es una probabilidad «al revés» del árbol, es decir, Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

N

= «en un día se supera el nivel permitido de

\text{NO}_2

» y

S

= «en un día se supera el nivel permitido de partículas en suspensión». Datos:

P(N) = 0{,}16, \quad P(\overline{N}) = 0{,}84, \quad P(S \mid N) = 0{,}33, \quad P(S \mid \overline{N}) = 0{,}08

y, por complementarios,

P(\overline{S} \mid N) = 0{,}67

P(\overline{S} \mid \overline{N}) = 0{,}92

. Las cuatro ramas del árbol:

Rama	Probabilidad
$N \cap S$	$0{,}16 \cdot 0{,}33 = 0{,}0528$
$N \cap \overline{S}$	$0{,}16 \cdot 0{,}67 = 0{,}1072$
$\overline{N} \cap S$	$0{,}84 \cdot 0{,}08 = 0{,}0672$
$\overline{N} \cap \overline{S}$	$0{,}84 \cdot 0{,}92 = 0{,}7728$

(Suman

1

✓.)

a) Por la regla del producto:

P(N \cap S) = P(N)\cdot P(S \mid N) = 0{,}16 \cdot 0{,}33 = 0{,}0528

b) Primero, por el teorema de la probabilidad total:

P(S) = P(N)\,P(S \mid N) + P(\overline{N})\,P(S \mid \overline{N}) = 0{,}0528 + 0{,}0672 = 0{,}12

Y la probabilidad de la unión:

P(N \cup S) = P(N) + P(S) - P(N \cap S) = 0{,}16 + 0{,}12 - 0{,}0528 = 0{,}2272

Comprobación por el contrario:

P(N \cup S) = 1 - P(\overline{N} \cap \overline{S}) = 1 - 0{,}7728 = 0{,}2272

✓.

c)

N

S

son independientes si y solo si

P(N \cap S) = P(N)\cdot P(S)

P(N)\cdot P(S) = 0{,}16 \cdot 0{,}12 = 0{,}0192 \neq 0{,}0528 = P(N \cap S)

No son independientes. Se ve también con las condicionadas:

P(S \mid N) = 0{,}33

es mucho mayor que

P(S) = 0{,}12

, así que saber que se ha superado el

\text{NO}_2

hace más probable que también se superen las partículas.

d) Por la definición de probabilidad condicionada (teorema de Bayes):

P(N \mid \overline{S}) = \frac{P(N \cap \overline{S})}{P(\overline{S})} = \frac{0{,}16 \cdot 0{,}67}{1 - 0{,}12} = \frac{0{,}1072}{0{,}88} \approx 0{,}1218

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Consejo

No confundas $P(S \mid N) = 0{,}33$ con $P(N \cap S)$ : el enunciado da la probabilidad de las partículas en los días en que se supera el $\text{NO}_2$ , que es una condicionada. La intersección hay que calcularla multiplicando por $P(N)$ .

En c) no basta con decir «no son independientes»: hay que justificarlo con números, comparando $P(N \cap S)$ con $P(N)\,P(S)$ (o $P(S \mid N)$ con $P(S)$ ).