Áreas, volúmenes y distancias

a) La normal de $\pi_1$ es $\vec{n}_1 = (1,\ 1,\ 0)$. Los planos paralelos a $\pi_1$ son de la forma$$\pi \equiv x + y + D = 0, \quad D \in \mathbb{R}$$La distancia del origen $O(0, 0, 0)$ a uno de ellos es$$d(O, \pi) = \frac{|0 + 0 + D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|D|}{\sqrt{2}}$$Imponiendo que valga 2:$$\frac{|D|}{\sqrt{2}} = 2 \;\Longrightarrow\; |D| = 2\sqrt{2} \;\Longrightarrow\; D = 2\sqrt{2} \ \text{ o } \ D = -2\sqrt{2}$$Hay dos planos, simétricos respecto del origen:$$\pi' \equiv x + y - 2\sqrt{2} = 0, \qquad \pi'' \equiv x + y + 2\sqrt{2} = 0$$(Ninguno es $\pi_1$, que está a distancia $\frac{1}{\sqrt{2}}$ del origen.)

b) La recta perpendicular a $\pi_2$ tiene como director su normal, $\vec{n}_2 = (1,\ 0,\ 1)$. Pasando por $(0, 2, 0)$:$$r \equiv (x,\ y,\ z) = (0,\ 2,\ 0) + \lambda\,(1,\ 0,\ 1) \qquad\Longleftrightarrow\qquad r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = \lambda \\ y = 2 \\ z = \lambda \end{array}\right.$$o, en implícitas, $r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - z = 0 \\ y = 2 \end{array}\right.$

c) Corte de $\pi_1$ con el eje $x$ ($y = z = 0$): $x = 1$, punto $A(1,\ 0,\ 0)$. Corte con el eje $y$ ($x = z = 0$): $y = 1$, punto $B(0,\ 1,\ 0)$.$$d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = |(-1,\ 1,\ 0)| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$Comprobaciones. En a), el punto de $\pi'$ más cercano al origen es $2\cdot\frac{\vec{n}_1}{|\vec{n}_1|} = (\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 0)$: cumple $\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0$ y está a distancia $\sqrt{2 + 2} = 2$ del origen ✓. En b), el punto $(0, 2, 0)$ está en $r$ ($\lambda = 0$) y el director es proporcional a $\vec{n}_2$ ✓.

En la simulación se dibuja el plano $x + y = 0$, paralelo a $\pi_1$ por el origen: los planos paralelos a él a distancia $k = 2$ son justo los de a). La recta $r$ es la de b).