Se considera la función f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen} x & \text{si } x < 0 \\ x\,e^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} a) (0,75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0. b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-\pi, 2). Demuestre que existe un punto x_0 \in [0, 1] de manera que f(x_0) = 2. c) (0,75 puntos) Calcule \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x)\,dx.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen} x & \text{si } x < 0 \\ x\,e^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

a) (0,75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f

x = 0

.

b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

restringida a

(-\pi, 2)

. Demuestre que existe un punto

x_0 \in [0, 1]

de manera que

f(x_0) = 2

.

c) (0,75 puntos) Calcule

\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{1} f(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Continua y derivable en } x = 0,\ f'(0) = 1}

\boxed{\text{b)}\ \text{Decrece en } \left(-\pi, -\tfrac{\pi}{2}\right),\ \text{crece en } \left(-\tfrac{\pi}{2}, 2\right);\ x_0 \text{ existe por Bolzano}}

\boxed{\text{c)}\ \int_{-\pi/2}^{1} f(x)\,dx = -1 + 1 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos ramas (

\operatorname{sen} x

x e^x

) son continuas y derivables en sus trozos, así que el único punto delicado es el de unión,

x = 0

. Ahí estudio los límites laterales (continuidad) y las derivadas laterales (derivabilidad).

En b) hago el signo de la derivada en cada trozo: el coseno cambia de signo en

-\frac{\pi}{2}

e^x(1 + x)

es positiva para

x \geq 0

. La existencia de

x_0

es un caso de manual del teorema de Bolzano aplicado a

f(x) - 2

.

En c) parto la integral en

x = 0

, donde cambia la expresión: la parte del seno es inmediata y la de

x e^x

sale por partes.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x \to 0^-} \operatorname{sen} x = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} x\,e^x = 0, \qquad f(0) = 0 \cdot e^0 = 0

Los tres valores coinciden, así que

f

es continua en

x = 0

.

Derivabilidad en $x = 0$ . Calculo las derivadas laterales por la definición:

f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{\operatorname{sen} h - 0}{h} = 1, \qquad f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h\,e^h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} e^h = 1

(el primero es el límite notable

\frac{\operatorname{sen} h}{h} \to 1

, o L'Hôpital:

\frac{\cos h}{1} \to 1

). Como son iguales,

f

es derivable en

x = 0

con

f'(0) = 1

.

b) Monotonía en $(-\pi, 2)$ . Por a), la derivada es

f'(x) = \begin{cases} \cos x & \text{si } -\pi < x < 0 \\ e^x\,(1 + x) & \text{si } 0 \leq x < 2 \end{cases}

En $(-\pi, 0)$ : $\cos x < 0$ si $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$ y $\cos x > 0$ si $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ .
En $[0, 2)$ : $e^x > 0$ y $1 + x > 0$ , luego $f'(x) > 0$ .

Intervalo	$\left(-\pi,\ -\frac{\pi}{2}\right)$	$\left(-\frac{\pi}{2},\ 0\right)$	$[0,\ 2)$
Signo de $f'$	$-$	$+$	$+$
$f$	decrece	crece	crece

f

es decreciente en

\left(-\pi,\ -\frac{\pi}{2}\right)

y creciente en

\left(-\frac{\pi}{2},\ 2\right)

(en

x = 0

no hay cambio:

f'(0) = 1 > 0

). Tiene un mínimo relativo en

x = -\frac{\pi}{2}

, con

f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1

.

Existencia de $x_0$ . Considero

h(x) = f(x) - 2 = x\,e^x - 2

[0, 1]

$h$ es continua en $[0, 1]$ (producto de funciones continuas menos una constante).
$h(0) = -2 < 0$ y $h(1) = e - 2 \approx 0{,}718 > 0$ .

Por el teorema de Bolzano existe

x_0 \in (0, 1) \subset [0, 1]

con

h(x_0) = 0

, es decir,

f(x_0) = 2

. Además es único, porque

f

es estrictamente creciente en

[0, 1]

(numéricamente,

x_0 \approx 0{,}853

).

c) Parto la integral en

x = 0

\int_{-\pi/2}^{1} f(x)\,dx = \int_{-\pi/2}^{0} \operatorname{sen} x\,dx + \int_{0}^{1} x\,e^x\,dx

La primera es inmediata:

\int_{-\pi/2}^{0} \operatorname{sen} x\,dx = \Bigl[-\cos x\Bigr]_{-\pi/2}^{0} = -\cos 0 + \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) = -1 + 0 = -1

La segunda, por partes con

u = x

dv = e^x\,dx

(

du = dx

v = e^x

\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = e^x(x - 1) + C

\int_{0}^{1} x\,e^x\,dx = \Bigl[e^x(x - 1)\Bigr]_0^1 = 0 - (-1) = 1

\int_{-\pi/2}^{1} f(x)\,dx = -1 + 1 = 0

Comprobación. Derivando la primitiva:

\bigl(e^x(x - 1)\bigr)' = e^x(x - 1) + e^x = x\,e^x

✓. Que salga

0

es coherente: el área por debajo del eje en

\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]

(que vale 1) se compensa exactamente con la de encima en

[0, 1]

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En Bolzano, escribe las tres cosas: la función auxiliar $h(x) = f(x) - 2$ , que es continua en el intervalo cerrado y que cambia de signo en los extremos. Sin la continuidad la demostración queda incompleta y se penaliza.

En c) la integral se parte por donde cambia la expresión de $f$ . Integrar $x e^x$ en todo el intervalo, o el seno en todo él, es un error frecuente que da un resultado sin sentido.