Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} a & -2 & a - 1 \\ -2 & 3 & -6 \\ -a & 1 & -6 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -2 & a - 1 & 4 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -a & 1 & -6 & 6 \end{array}\right)$$a) Desarrollo $|A|$ por la primera fila:$$|A| = a\,\bigl(3\cdot(-6) - (-6)\cdot 1\bigr) + 2\,\bigl((-2)(-6) - (-6)(-a)\bigr) + (a - 1)\bigl((-2)\cdot 1 - 3\cdot(-a)\bigr)$$$$= a(-12) + 2(12 - 6a) + (a - 1)(3a - 2) = -12a + 24 - 12a + 3a^2 - 5a + 2 = 3a^2 - 29a + 26$$$$3a^2 - 29a + 26 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 312}}{6} = \frac{29 \pm 23}{6} \;\Longrightarrow\; a = 1 \ \text{ o } \ a = \frac{26}{3}$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq \frac{26}{3}$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -1 & 1 & -6 & 6 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada basta un menor de orden 3 con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(18 - 2) + 2(-12 + 2) + 4(-2 + 3) = 16 - 20 + 4 = 0$$y el otro menor que contiene esa columna, el de las columnas 1, 3 y 4 (o 2, 3 y 4), también se anula, porque en realidad la tercera fila es la suma de las dos primeras: $(1, -2, 0, 4) + (-2, 3, -6, 2) = (-1, 1, -6, 6)$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

Caso $a = \frac{26}{3}$. Multiplico la primera y la tercera ecuación por 3 para quitar denominadores (no cambia los rangos):$$\left(\begin{array}{ccc|c} 26 & -6 & 23 & 12 \\ -2 & 3 & -6 & 2 \\ -26 & 3 & -18 & 18 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 26 & -6 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 78 - 12 = 66 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. Con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 26 & -6 & 12 \\ -2 & 3 & 2 \\ -26 & 3 & 18 \end{vmatrix} = 26(54 - 6) + 6(-36 + 52) + 12(-6 + 78) = 1248 + 96 + 864 = 2208 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

b) Para $a = 1$ la tercera ecuación sobra (es la suma de las otras dos). Queda$$\left\{\begin{array}{l} x - 2y = 4 \\ -2x + 3y - 6z = 2 \end{array}\right.$$Tomo $z = t$. De la primera, $x = 4 + 2y$; en la segunda:$$-8 - 4y + 3y - 6t = 2 \;\Longrightarrow\; y = -10 - 6t, \qquad x = 4 + 2(-10 - 6t) = -16 - 12t$$$$(x,\ y,\ z) = (-16 - 12t,\ -10 - 6t,\ t), \quad t \in \mathbb{R}$$Comprobación en las tres ecuaciones originales con $a = 1$:

• $(-16 - 12t) - 2(-10 - 6t) + 0 = -16 + 20 = 4$ ✓
• $-2(-16 - 12t) + 3(-10 - 6t) - 6t = 32 - 30 + 24t - 18t - 6t = 2$ ✓
• $-(-16 - 12t) + (-10 - 6t) - 6t = 16 - 10 = 6$ ✓