Rectas y planos

Punto y director de $r$. Las normales de los dos planos que la definen son $\vec{n}_1 = (-1,\ -1,\ 1)$ y $\vec{n}_2 = (2,\ 3,\ -1)$:$$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = (1 - 3)\,\vec{i} - (1 - 2)\,\vec{j} + (-3 + 2)\,\vec{k} = (-2,\ 1,\ -1)$$Tomo como director $\vec{d}_r = (2,\ -1,\ 1)$. Para un punto, hago $z = 0$: $-x - y = 0$ y $2x + 3y = -1$, de donde $y = -x$ y $-x = -1$, o sea $A(1,\ -1,\ 0)$. Así$$r \equiv (x,\ y,\ z) = (1,\ -1,\ 0) + \lambda\,(2,\ -1,\ 1)$$a) La normal de $\pi$ es $\vec{n} = (2,\ 1,\ -1)$. El ángulo $\alpha$ entre recta y plano cumple$$\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{d}_r \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}_r|\,|\vec{n}|} = \frac{|4 - 1 - 1|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$$$\alpha = \operatorname{arcsen}\frac{1}{3} \approx 19{,}47^\circ$$b) Punto de intersección. Sustituyo la paramétrica de $r$ en $\pi$:$$2(1 + 2\lambda) + (-1 - \lambda) - \lambda + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; 4 + 2\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2$$$$P = (1 - 4,\ -1 + 2,\ -2) = (-3,\ 1,\ -2)$$(Comprobación: $3 - 1 - 2 = 0$ y $-6 + 3 + 2 + 1 = 0$, está en $r$; $-6 + 1 + 2 + 3 = 0$, está en $\pi$.)

Simétrico respecto de $\sigma \equiv z - y = 0$. Su normal es $\vec{n}_\sigma = (0,\ -1,\ 1)$. La recta perpendicular a $\sigma$ por $P$ es$$s \equiv (x,\ y,\ z) = (-3,\ 1 - \mu,\ -2 + \mu)$$y corta a $\sigma$ cuando $(-2 + \mu) - (1 - \mu) = 0$, es decir, $\mu = \frac{3}{2}$:$$M = \left(-3,\ -\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2}\right)$$$M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P'$:$$P' = 2M - P = (-6 + 3,\ -1 - 1,\ -1 + 2) = (-3,\ -2,\ 1)$$Tiene sentido: la reflexión respecto del plano $y = z$ simplemente intercambia las coordenadas $y$ y $z$, y eso es justo lo que ha pasado.

c) El plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ tiene como direcciones $\vec{d}_r$ y $\vec{n}$, así que su normal es$$\vec{d}_r \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 - 1)\,\vec{i} - (-2 - 2)\,\vec{j} + (2 + 2)\,\vec{k} = (0,\ 4,\ 4) \parallel (0,\ 1,\ 1)$$Pasando por $A(1,\ -1,\ 0)$: $(y + 1) + z = 0$, es decir, $\pi' \equiv y + z + 1 = 0$. La proyección es la recta intersección:$$r' \equiv \left\{\begin{array}{l} 2x + y - z + 3 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{array}\right.$$En paramétricas, pasa por $P(-3,\ 1,\ -2)$ (está en los dos planos: $1 - 2 + 1 = 0$) con director $\vec{n} \times (0,1,1) = (2,\ -2,\ 2) \parallel (1,\ -1,\ 1)$:$$r' \equiv (x,\ y,\ z) = (-3,\ 1,\ -2) + t\,(1,\ -1,\ 1)$$Comprobación. Proyecto otro punto de $r$, el $A(1,-1,0)$: la recta $A + k\,\vec{n}$ corta a $\pi$ cuando $2(1 + 2k) + (-1 + k) - (-k) + 3 = 4 + 6k = 0$, o sea $k = -\frac{2}{3}$, y da $A' = \left(-\frac{1}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{2}{3}\right)$. Con $t = \frac{8}{3}$ en $r'$ sale $\left(-\frac{1}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{2}{3}\right)$, el mismo punto ✓.