Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Calcule el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

f(x) = 2 + x - x^2, \qquad g(x) = 2x^2 - 4x.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{A = \int_{-1/3}^{2}\left(-3x^2 + 5x + 2\right)dx = \frac{343}{54} \approx 6{,}35 \ u^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto lo cierran las dos parábolas entre sus puntos de corte, así que el primer paso es igualarlas. Después hay que saber cuál va por encima en ese intervalo: basta con evaluar en un punto intermedio (o fijarse en que

f

es una parábola hacia abajo y

g

hacia arriba). El área es la integral de «la de arriba menos la de abajo» entre los dos cortes, que se calcula con la regla de Barrow.

Desarrollo

Puntos de corte. Igualando

f(x) = g(x)

2 + x - x^2 = 2x^2 - 4x \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 5x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}

x_1 = -\frac{1}{3}, \qquad x_2 = 2

Qué función va por encima. En

x = 0

, que está entre los dos cortes,

f(0) = 2

g(0) = 0

, luego

f \geq g

en todo

\left[-\tfrac{1}{3},\ 2\right]

(entre dos cortes consecutivos la diferencia no cambia de signo). Además

f(x) - g(x) = -3x^2 + 5x + 2

Área.

A = \int_{-1/3}^{2} \left(-3x^2 + 5x + 2\right)dx = \left[-x^3 + \frac{5x^2}{2} + 2x\right]_{-1/3}^{2}

Evaluando la primitiva

F(x) = -x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x

en los extremos:

F(2) = -8 + 10 + 4 = 6

F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} + \frac{5}{18} - \frac{2}{3} = \frac{2 + 15 - 36}{54} = -\frac{19}{54}

A = 6 - \left(-\frac{19}{54}\right) = \frac{324 + 19}{54} = \frac{343}{54} \approx 6{,}35 \ u^2

Comprobación. Para el área entre dos parábolas cuya diferencia es

a x^2 + bx + c

con raíces

x_1 < x_2

se cumple

A = \frac{|a|\,(x_2 - x_1)^3}{6}

. Aquí

|a| = 3

x_2 - x_1 = \frac{7}{3}

A = \frac{3\cdot \left(\frac{7}{3}\right)^3}{6} = \frac{3\cdot 343}{27\cdot 6} = \frac{343}{54}

que coincide con lo obtenido ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de integrar, decide qué función va por encima: si integras $g - f$ obtienes $-\frac{343}{54}$ , y un área negativa es un error que la corrección penaliza aunque el número «se parezca».

Ojo con la evaluación en $-\frac{1}{3}$ : el signo de $-x^3$ y las fracciones son donde más se falla. Comprobar con la fórmula $\frac{|a|(x_2 - x_1)^3}{6}$ cuesta medio minuto.