Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio

Enunciado

Tres hermanos quieren repartirse de forma equitativa un total de 540 acciones valoradas en 1560 euros, que corresponden a tres empresas A, B y C. Sabiendo que el valor actual en bolsa de la acción A es el triple que el de B y la mitad que el de C, que el número de acciones de C es la mitad que el de B y que el actual valor en bolsa de la acción B es 1 euro, encuentre el número de cada tipo de acción que le corresponde a cada hermano.

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Resultado

\boxed{\text{Cada hermano: } 120 \text{ acciones de A},\ 40 \text{ de B y } 20 \text{ de C}}

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Estrategia

Lo primero es separar dos tipos de datos: precios de cada acción y cantidades de acciones. Los precios salen directamente: si B vale 1 euro, A vale el triple (3 euros) y C el doble de A (6 euros). Las incógnitas son entonces solo las cantidades.

Como el reparto es equitativo, cada hermano recibe la tercera parte de todo: un tercio de las acciones y un tercio del valor. Trabajar directamente con lo que le toca a un hermano deja números más pequeños. Con eso planteo tres ecuaciones (número de acciones, valor en euros y la relación entre C y B) y resuelvo el sistema por sustitución.

Desarrollo

Precios. Si

p_A

p_B

p_C

son los valores en bolsa de cada acción:

p_B = 1, \qquad p_A = 3\,p_B = 3, \qquad p_A = \frac{p_C}{2} \;\Longrightarrow\; p_C = 2\,p_A = 6 \text{ euros}

Incógnitas. Sean

x

y

z

el número de acciones de A, B y C que recibe cada hermano. Como el reparto es equitativo, cada uno recibe

540/3 = 180

acciones por un valor de

1560/3 = 520

euros. La condición «el número de acciones de C es la mitad que el de B» se mantiene al dividir entre tres, así que vale también para cada hermano:

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 180 \\ 3x + y + 6z = 520 \\ z = \dfrac{y}{2} \end{array}\right. \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 180 \\ 3x + y + 6z = 520 \\ y - 2z = 0 \end{array}\right.

Resolución. De la tercera ecuación,

y = 2z

. Sustituyendo en las otras dos:

x + 3z = 180, \qquad 3x + 8z = 520

De la primera,

x = 180 - 3z

, y llevándolo a la segunda:

3(180 - 3z) + 8z = 520 \;\Longrightarrow\; 540 - z = 520 \;\Longrightarrow\; z = 20

y = 2z = 40, \qquad x = 180 - 3\cdot 20 = 120

El sistema es compatible determinado (el determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2 + 0 + 3) - (0 - 6 + 6) = 1 \neq 0

), así que esta es la única solución.

Comprobación.

Acciones de cada hermano: $120 + 40 + 20 = 180$ ; entre los tres, $3\cdot 180 = 540$ ✓.
Valor de cada lote: $3\cdot 120 + 1\cdot 40 + 6\cdot 20 = 360 + 40 + 120 = 520$ euros; entre los tres, $1560$ euros ✓.
Acciones de C: $20$ , la mitad de las $40$ de B ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No mezcles cantidades con precios: el error típico es escribir $x = 3y$ porque «A es el triple que B», cuando eso se refiere al valor de la acción, no al número de acciones.

Cuida también a quién se refiere la pregunta: se pide lo que recibe cada hermano. Si planteas el sistema con los totales (540 acciones y 1560 euros) obtienes 360, 120 y 60, y tienes que acordarte de dividir entre tres al final.