Distribución normal

a) Sea $X$ = número de días con lluvia entre los 100. Cada día llueve con probabilidad $p = 0{,}45$ y no llueve con $q = 0{,}55$, de forma independiente, así que$$X \sim B(100;\ 0{,}45)$$La probabilidad exacta de que haya llovido en 40 de ellos es$$P(X = 40) = \binom{100}{40}\,0{,}45^{40}\,0{,}55^{60}$$(elegir cuáles son los 40 días de lluvia, por la probabilidad de cada configuración concreta). Su valor, con ordenador, es $\approx 0{,}0488$.

b) Parámetros de la binomial:$$\mu = np = 100 \cdot 0{,}45 = 45, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{100 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}55} = \sqrt{24{,}75} \approx 4{,}975$$Como $np = 45 \geq 5$ y $nq = 55 \geq 5$, la aproximación por la normal es adecuada: $X \approx Y \sim N(45;\ 4{,}975)$.

Con la corrección de continuidad, el valor $X = 40$ corresponde al intervalo $39{,}5 \leq Y \leq 40{,}5$. Tipificando con $Z = \frac{Y - 45}{4{,}975}$:$$\frac{39{,}5 - 45}{4{,}975} \approx -1{,}11, \qquad \frac{40{,}5 - 45}{4{,}975} \approx -0{,}90$$$$P(X = 40) \approx P(-1{,}11 \leq Z \leq -0{,}90)$$Por la simetría de la normal, es lo mismo que $P(0{,}90 \leq Z \leq 1{,}11)$:$$P(0{,}90 \leq Z \leq 1{,}11) = P(Z \leq 1{,}11) - P(Z \leq 0{,}90) = 0{,}8665 - 0{,}8159 = 0{,}0506$$La aproximación ($0{,}0506$) está muy cerca del valor exacto de a) ($\approx 0{,}0488$): la diferencia es de menos de dos milésimas.