Rectas y planos

Datos.

• $r$ pasa por $P(2, -1, -4)$ con director $\vec{u} = (1, 1, -3)$.
• $s$: su director es perpendicular a las normales $(1, 0, 1)$ y $(-2, 1, -2)$ de los dos planos:

$$\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 - 1)\,\vec{i} - (-2 + 2)\,\vec{j} + (1 - 0)\,\vec{k} = (-1,\ 0,\ 1)$$Un punto de $s$: con $x = 1$, la primera ecuación da $z = 1$ y la segunda $y = 1 + 2 + 2 = 5$, así que $Q(1, 5, 1) \in s$.

Los directores no son proporcionales, y las rectas no se cortan: el producto mixto$$\left[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{PQ}\right] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 6 & 5 \end{vmatrix} = 0 - 1 + 18 - 0 - 6 + 5 = 16 \neq 0$$con $\overrightarrow{PQ} = (-1, 6, 5)$, así que se cruzan y la perpendicular común es única.

a) Puntos genéricos:$$R = (2 + \lambda,\ -1 + \lambda,\ -4 - 3\lambda) \in r, \qquad S = (1 - \mu,\ 5,\ 1 + \mu) \in s$$$$\overrightarrow{RS} = (-1 - \mu - \lambda,\ 6 - \lambda,\ 5 + \mu + 3\lambda)$$Imponemos $\overrightarrow{RS} \perp \vec{u}$ y $\overrightarrow{RS} \perp \vec{v}$:$$\overrightarrow{RS} \cdot \vec{u} = (-1 - \mu - \lambda) + (6 - \lambda) - 3(5 + \mu + 3\lambda) = -10 - 4\mu - 11\lambda = 0$$$$\overrightarrow{RS} \cdot \vec{v} = (1 + \mu + \lambda) + (5 + \mu + 3\lambda) = 6 + 2\mu + 4\lambda = 0$$De la segunda, $\mu = -3 - 2\lambda$. En la primera: $-10 + 12 + 8\lambda - 11\lambda = 0$, es decir, $2 - 3\lambda = 0$, $\lambda = \frac{2}{3}$, y $\mu = -3 - \frac{4}{3} = -\frac{13}{3}$.

Los pies de la perpendicular común son$$R = \left(\frac{8}{3},\ -\frac{1}{3},\ -6\right), \qquad S = \left(\frac{16}{3},\ 5,\ -\frac{10}{3}\right)$$$$\overrightarrow{RS} = \left(\frac{8}{3},\ \frac{16}{3},\ \frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}\,(1,\ 2,\ 1)$$La perpendicular común pasa por $R$ con dirección $(1, 2, 1)$:$$t \equiv \frac{x - \frac{8}{3}}{1} = \frac{y + \frac{1}{3}}{2} = \frac{z + 6}{1}$$Comprobaciones: $(1, 2, 1)\cdot\vec{u} = 1 + 2 - 3 = 0$ ✓ y $(1, 2, 1)\cdot\vec{v} = -1 + 0 + 1 = 0$ ✓. Además $(1, 2, 1)$ es proporcional a $\vec{u} \times \vec{v} = (1, 2, 1)$ ✓. $R$ cumple la ecuación de $r$: $\frac{2/3}{1} = \frac{2/3}{1} = \frac{-2}{-3}$ ✓, y $S$ cumple las de $s$: $\frac{16}{3} - \frac{10}{3} = 2$ y $-\frac{32}{3} + 5 + \frac{20}{3} = 1$ ✓.

(Otra forma equivalente de darla es como intersección de dos planos: el que contiene a $r$ y a la dirección $(1, 2, 1)$, $7x - 4y + z - 14 = 0$, y el que contiene a $s$ y esa dirección, $x - y + z + 3 = 0$. $R$ cumple las dos ecuaciones.)

b) La distancia entre dos rectas que se cruzan es la longitud del segmento de perpendicular común:$$d(r, s) = \left|\overrightarrow{RS}\right| = \frac{8}{3}\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \approx 6{,}53 \text{ u}$$Comprobación con la fórmula del producto mixto:$$d(r, s) = \frac{\left|\left[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{PQ}\right]\right|}{\left|\vec{u} \times \vec{v}\right|} = \frac{16}{\sqrt{6}} = \frac{16\sqrt{6}}{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$$que coincide ✓.