Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Sea la función

f(x) = x^3 - |x| + 2.

a) (0,75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f

x = 0

.

b) (1 punto) Determine los extremos relativos de

f(x)

en la recta real.

c) (0,75 puntos) Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de

f

, el eje de abscisas

y = 0

, y las rectas

x = -1

x = 1

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ f \text{ continua en } 0 \text{ y no derivable: } f'(0^-) = 1 \neq f'(0^+) = -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \text{Máx. rel. } (0,\, 2); \quad \text{mín. rel. } \left(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\ 2 - \tfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)\;}

\boxed{\;\text{c)}\ \text{Área} = 3 \text{ u}^2\;}

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Estrategia

El valor absoluto obliga a escribir $f$ a trozos, separando

x < 0

x \geq 0

. Con eso:

En a), la continuidad es inmediata (suma de continuas) y la derivabilidad en 0 se decide con las derivadas laterales.
En b), los extremos pueden estar donde $f' = 0$ y también donde $f$ no es derivable: en $x = 0$ hay que mirar el signo de $f'$ a cada lado.
En c), antes de integrar compruebo el signo de $f$ en $[-1, 1]$ (si fuera negativa en algún tramo habría que partir la integral) y luego integro cada trozo por separado.

Desarrollo

Como

|x| = -x

x < 0

|x| = x

x \geq 0

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^3 + x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 - x + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{array}\right.

a) Continuidad.

x^3

|x|

2

son continuas en todo

\mathbb{R}

, así que

f

también lo es, en particular en

x = 0

. Explícitamente:

\lim_{x\to 0^-} (x^3 + x + 2) = 2 = \lim_{x\to 0^+} (x^3 - x + 2) = f(0)

Derivabilidad. Derivadas laterales en 0, con

f(0) = 2

f'(0^-) = \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{x^3 + x}{x} = \lim_{x\to 0^-} (x^2 + 1) = 1

f'(0^+) = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x^3 - x}{x} = \lim_{x\to 0^+} (x^2 - 1) = -1

Como

f'(0^-) = 1 \neq -1 = f'(0^+)

, $f$ no es derivable en $x = 0$ (la gráfica tiene un pico).

b) Fuera de 0 la función es derivable:

f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 3x^2 + 1 & \text{si } x < 0 \\ 3x^2 - 1 & \text{si } x > 0 \end{array}\right.

Para $x < 0$ : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ siempre. No hay puntos críticos y $f$ es creciente en $(-\infty, 0)$ .
Para $x > 0$ : $f'(x) = 0 \iff x^2 = \frac{1}{3} \iff x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (la raíz negativa no está en este trozo). $f' < 0$ en $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ y $f' > 0$ en $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$ .

Resumen de la monotonía:

	$(-\infty, 0)$	$\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$	$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

En $x = 0$ , $f$ es continua, crece a la izquierda y decrece a la derecha: máximo relativo en $(0, 2)$ , aunque $f'(0)$ no exista.
En $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo. (También con la derivada segunda: $f''(x) = 6x$ y $f''\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\sqrt{3} > 0$ .) Su valor:

f\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 = 2 - \frac{2}{3\sqrt{3}} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 1{,}615

c) Signo de $f$ en $[-1, 1]$ .

En $[0, 1]$ , por b), el valor mínimo de $f$ es el mínimo relativo $\approx 1{,}615 > 0$ ; también $f(0) = 2$ y $f(1) = 2$ . Luego $f > 0$ .
En $[-1, 0]$ , $f(x) = x^3 + x + 2$ y $f(-1) = -1 - 1 + 2 = 0$ . Factorizando por Ruffini, $x^3 + x + 2 = (x + 1)(x^2 - x + 2)$ , y $x^2 - x + 2$ no tiene raíces reales (discriminante $1 - 8 < 0$ ), así que es positivo. Como $x + 1 \geq 0$ en $[-1, 0]$ , $f \geq 0$ (solo se anula en $x = -1$ ).

La gráfica queda por encima del eje en todo el intervalo, y el área es la integral, partida en

x = 0

porque cambia la expresión:

\text{Área} = \int_{-1}^{0} (x^3 + x + 2)\,dx + \int_{0}^{1} (x^3 - x + 2)\,dx

\int_{-1}^{0} (x^3 + x + 2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{5}{4}

\int_{0}^{1} (x^3 - x + 2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}

\text{Área} = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = 3 \text{ u}^2

Comprobación de orden de magnitud: en

[-1, 1]

la función vale entre 0 y 2 y casi siempre alrededor de 1,5-2; un área de 3 en un intervalo de anchura 2 (altura media 1,5) es razonable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el máximo está en $x = 0$ , donde $f'$ no existe: si solo buscas $f'(x) = 0$ te lo dejas, y la corrección da 0,25 puntos precisamente por decidir que $x = 0$ es extremo. Los puntos sin derivada son candidatos a extremo igual que los críticos.

En c) justifica que $f \geq 0$ en $[-1, 1]$ antes de integrar; aquí $f(-1) = 0$ , así que la gráfica toca el eje justo en el borde del recinto y no hay que partir la integral por el signo.