Sistemas de ecuaciones

a) Si $(1, 2)$ y $(0, 0)$ son soluciones de un sistema lineal, el sistema es compatible y no determinado, así que tiene infinitas soluciones: las de la recta que pasa por esos dos puntos. Esa recta tiene pendiente $\frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$ y pasa por el origen: $y = 2x$, o sea $2x - y = 0$.

Un sistema de dos ecuaciones con esas soluciones es, por ejemplo,$$\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 0 \\ 4x - 2y = 0 \end{array}\right.$$Justificación. $(1, 2)$: $2 - 2 = 0$ y $4 - 4 = 0$ ✓. $(0, 0)$: $0 = 0$ en las dos ✓. La segunda ecuación es el doble de la primera, así que $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 1 < 2$ incógnitas: sistema compatible indeterminado, con soluciones $(t, 2t)$, $t \in \mathbb{R}$, entre ellas las dos pedidas ($t = 1$ y $t = 0$).

(No puede ser un sistema compatible determinado, porque tendría solución única.)

b) De la primera ecuación paramétrica, $\lambda = x$. Sustituyendo en las otras dos:$$y = x - 2, \qquad z = x - 1$$El sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x - z = 1 \end{array}\right.$$Justificación. La matriz de coeficientes $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ tiene el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, luego $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3$ incógnitas: compatible indeterminado con un parámetro. Tomando $x = \lambda$, se despeja $y = \lambda - 2$ y $z = \lambda - 1$, que es exactamente la solución pedida ✓.

c) Elijo tres ecuaciones que cumpla el punto $(1, 2)$:$$\left\{\begin{array}{l} x + y = 3 \\ x - y = -1 \\ 2x + y = 4 \end{array}\right.$$Justificación. El punto las cumple: $1 + 2 = 3$, $1 - 2 = -1$, $2 + 2 = 4$ ✓. Para que la solución sea solo esa, el sistema tiene que ser compatible determinado:

• $\operatorname{rg} A = 2$, porque $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$.
• $\operatorname{rg} A^* = 2$: es al menos 2 y el único menor de orden 3 se anula, $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -4 - 2 + 3 + 6 + 1 - 4 = 0$.

Como $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 =$ número de incógnitas, la solución es única: $x = 1$, $y = 2$. (La tercera ecuación es $\frac{3}{2}$ de la primera más $\frac{1}{2}$ de la segunda: es combinación lineal de ellas y no añade ni quita soluciones.)

Una forma de verlo en tres dimensiones. El sistema de b) son dos planos que se cortan en la recta pedida. Si se le añade como tercera ecuación la suma de las dos ($2x - y - z = 3$), el sistema sigue siendo el mismo, y en la simulación se ve el haz de tres planos con la recta común.