Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

En una urna hay dos bolas blancas y cuatro bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si la bola extraída es blanca, se devuelve a la urna y se añade otra bola blanca; si es negra, no se devuelve a la urna. A continuación, se vuelve a extraer una bola al azar de la urna.

a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color?

b) (1,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra, sabiendo que la segunda ha sido blanca?

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(\text{distinto color}) = \tfrac{16}{35} \approx 0{,}4571\;}

\boxed{\;\text{b)}\ P(N_1 \mid B_2) = \tfrac{28}{43} \approx 0{,}6512\;}

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Estrategia

Es un experimento en dos etapas en el que la composición de la urna en la segunda extracción depende de la primera. Lo natural es un diagrama de árbol: primera bola (blanca o negra) y, en cada rama, cómo queda la urna y la probabilidad de cada color en la segunda.

En a) «distinto color» son dos ramas: blanca-negra y negra-blanca. Se suman.
En b) se conoce el resultado de la segunda extracción y se pregunta por la primera: es una probabilidad «hacia atrás», el teorema de Bayes, con la probabilidad total en el denominador.

Desarrollo

Sucesos.

B_1

N_1

: la primera bola es blanca o negra.

B_2

N_2

: la segunda es blanca o negra.

Inicialmente hay 6 bolas (2 blancas, 4 negras):

P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad P(N_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Composición de la urna para la segunda extracción.

Si salió blanca: se devuelve y se añade otra blanca, quedan 3 blancas y 4 negras (7 bolas). Entonces $P(B_2 \mid B_1) = \frac{3}{7}$ y $P(N_2 \mid B_1) = \frac{4}{7}$ .
Si salió negra: no se devuelve, quedan 2 blancas y 3 negras (5 bolas). Entonces $P(B_2 \mid N_1) = \frac{2}{5}$ y $P(N_2 \mid N_1) = \frac{3}{5}$ .

El árbol queda:

Primera	Segunda	Probabilidad del camino
Blanca ( $\frac{1}{3}$ )	Blanca ( $\frac{3}{7}$ )	$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7} = \frac{1}{7}$
Blanca ( $\frac{1}{3}$ )	Negra ( $\frac{4}{7}$ )	$\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{7} = \frac{4}{21}$
Negra ( $\frac{2}{3}$ )	Blanca ( $\frac{2}{5}$ )	$\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5} = \frac{4}{15}$
Negra ( $\frac{2}{3}$ )	Negra ( $\frac{3}{5}$ )	$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Comprobación:

\frac{1}{7} + \frac{4}{21} + \frac{4}{15} + \frac{2}{5} = \frac{15 + 20 + 28 + 42}{105} = \frac{105}{105} = 1

✓.

a) Distinto color es «blanca y luego negra» o «negra y luego blanca», sucesos incompatibles:

P(\text{distinto color}) = P(B_1 \cap N_2) + P(N_1 \cap B_2) = \frac{4}{21} + \frac{4}{15} = \frac{20}{105} + \frac{28}{105} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35} \approx 0{,}4571

b) Por la probabilidad total, la probabilidad de que la segunda sea blanca es

P(B_2) = P(B_1)\,P(B_2 \mid B_1) + P(N_1)\,P(B_2 \mid N_1) = \frac{1}{7} + \frac{4}{15} = \frac{15 + 28}{105} = \frac{43}{105}

y por el teorema de Bayes

P(N_1 \mid B_2) = \frac{P(N_1 \cap B_2)}{P(B_2)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{43}{105}} = \frac{4 \cdot 105}{15 \cdot 43} = \frac{28}{43} \approx 0{,}6512

Tiene sentido que sea mayor que

\frac{1}{2}

: a priori la primera es negra con probabilidad

\frac{2}{3}

, y que la segunda salga blanca apenas cambia esa idea (

\frac{2}{5}

frente a

\frac{3}{7}

son parecidas), así que baja solo un poco.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo que más se equivoca es la urna de la segunda extracción: si sale blanca se devuelve y se añade otra (7 bolas, 3 blancas); si sale negra no se devuelve (5 bolas). Escríbelo en el árbol antes de poner ninguna probabilidad.

En b) fíjate en el orden de la condición: se sabe la segunda y se pregunta por la primera, así que no es $P(B_2 \mid N_1) = \frac{2}{5}$ , sino Bayes.