Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Dado el punto

A(1, 0, -1)

, la recta

r \equiv x - 1 = y + 1 = \dfrac{z-2}{2}

y el plano

\pi \equiv x + y - z = 6

, se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar el ángulo que forman el plano

\pi

y el plano perpendicular a la recta

r

que pasa por el punto

A

.

b) (0,75 puntos) Determinar la distancia entre la recta

r

y el plano

\pi

.

c) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por

A

, forma un ángulo recto con la recta

r

y no corta al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ 90^\circ \ (\text{planos perpendiculares}) \qquad \text{b)}\ d(r,\pi) = \tfrac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}62\;}

\boxed{\;\text{c)}\ s \equiv (x, y, z) = (1, 0, -1) + \lambda\,(-1, 1, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de dos vectores: el director de

r

y el normal de

\pi

En a), el plano perpendicular a $r$ tiene como normal el director de $r$ . El ángulo entre dos planos es el de sus normales, así que basta un producto escalar.
En b), la distancia de una recta a un plano solo tiene sentido calcularla si son paralelos (si se cortan, es 0). Primero miro la posición relativa y, si son paralelos, la distancia es la de un punto cualquiera de $r$ a $\pi$ .
En c), «forma un ángulo recto con $r$ » pide una dirección perpendicular al director de $r$ , y «no corta a $\pi$ » (con $A$ fuera de $\pi$ ) pide que sea paralela a $\pi$ , es decir, perpendicular a su normal. Una dirección perpendicular a dos vectores a la vez es su producto vectorial.

Desarrollo

Datos. De la ecuación continua,

r

pasa por

P_r(1, -1, 2)

con director

\vec{d}_r = (1, 1, 2)

. El plano

\pi \equiv x + y - z - 6 = 0

tiene normal

\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)

.

a) El plano

\alpha

perpendicular a

r

por

A

tiene normal

\vec{n}_\alpha = \vec{d}_r = (1, 1, 2)

\alpha \equiv 1(x - 1) + 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha \equiv x + y + 2z + 1 = 0

El ángulo entre

\pi

\alpha

es el que forman sus normales:

\cos\theta = \frac{\left|\vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_\alpha\right|}{\left|\vec{n}_\pi\right|\left|\vec{n}_\alpha\right|} = \frac{|1 + 1 - 2|}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}} = 0 \;\Longrightarrow\; \theta = 90^\circ

Los dos planos son perpendiculares.

b) Posición relativa de

r

\pi

\vec{d}_r \cdot \vec{n}_\pi = 1 + 1 - 2 = 0

así que

r

es paralela a

\pi

o está contenida en él. Como

P_r(1, -1, 2)

1 - 1 - 2 - 6 = -8 \neq 0

, el punto no está en

\pi

: la recta es paralela al plano. Entonces todos sus puntos están a la misma distancia de

\pi

d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1 - 1 - 2 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}62 \text{ u}

c) Sea

s

la recta buscada, con director

\vec{d}_s

Forma un ángulo recto con $r$ : $\vec{d}_s \perp \vec{d}_r$ .
No corta a $\pi$ : como $A$ no está en $\pi$ ( $1 + 0 + 1 - 6 = -4 \neq 0$ ), basta con que $s$ sea paralela a $\pi$ , es decir, $\vec{d}_s \perp \vec{n}_\pi$ . (Si $s$ no fuera paralela a $\pi$ , lo cortaría en un punto.)

Una dirección perpendicular a

\vec{d}_r

y a

\vec{n}_\pi

es su producto vectorial:

\vec{d}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2)\,\vec{i} - (-1 - 2)\,\vec{j} + (1 - 1)\,\vec{k} = (-3,\ 3,\ 0)

Tomo

\vec{d}_s = (-1, 1, 0)

, proporcional. La recta es

s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

o, en forma implícita,

s \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y = 1 \\ z = -1 \end{array}\right.

Comprobaciones.

\vec{d}_s \cdot \vec{d}_r = -1 + 1 + 0 = 0

✓ (perpendicular a

r

\vec{d}_s \cdot \vec{n}_\pi = -1 + 1 - 0 = 0

✓ (paralela a

\pi

). Un punto genérico de

s

\pi

(1 - \lambda) + \lambda - (-1) = 2 \neq 6

para todo

\lambda

, así que nunca lo corta ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no calcules la distancia sin justificar antes que $r$ y $\pi$ son paralelos: si se cortaran la distancia sería 0, y un punto cualquiera de $r$ daría un número sin sentido. Hay que comprobar $\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi = 0$ y que un punto de $r$ no está en $\pi$ .

En c), «no corta al plano» se traduce en «es paralela al plano» solo porque $A$ no está en $\pi$ : dilo, que es la justificación que se valora.