Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2021 · Julio

Enunciado

Tres amigas, Sara, Cristina y Jimena, tienen un total de 15000 seguidores en una red social. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores todavía tendría el triple de seguidores que Sara. Además, la mitad de los seguidores de Sara más la quinta parte de los de Cristina suponen la cuarta parte de los seguidores de Jimena. Calcule cuántos seguidores tiene cada una de las tres amigas.

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Resultado

\boxed{\;\text{Sara: } 2000,\quad \text{Cristina: } 5000,\quad \text{Jimena: } 8000 \text{ seguidores}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de traducir frases a ecuaciones. Llamo

x

y

z

a los seguidores de Sara, Cristina y Jimena, y cada frase del enunciado da una ecuación lineal: el total, lo que pasa si Jimena pierde un 25 % (le queda el 75 %) y la relación entre mitades, quintos y cuartos.

Antes de resolver conviene quitar decimales y denominadores multiplicando cada ecuación por lo que haga falta: así el método de Gauss sale con números enteros. Al final, sustituyo en las tres frases del enunciado para comprobar.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= seguidores de Sara,

y

= seguidores de Cristina,

z

= seguidores de Jimena.

Planteamiento.

Entre las tres tienen 15000: $x + y + z = 15000$ .
Si Jimena perdiera el 25 %, le quedaría el 75 % de sus seguidores, que sería el triple de los de Sara: $0{,}75\,z = 3x$ . Multiplicando por 4: $3z = 12x$ , es decir, $z = 4x$ , o bien $4x - z = 0$ .
La mitad de los de Sara más la quinta parte de los de Cristina es la cuarta parte de los de Jimena: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{4}$ . Multiplicando por 20: $10x + 4y = 5z$ , o bien $10x + 4y - 5z = 0$ .

El sistema queda

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 15000 \\ 4x - z = 0 \\ 10x + 4y - 5z = 0 \end{array}\right.

Resolución. De la segunda ecuación,

z = 4x

. Sustituyendo en las otras dos:

x + y + 4x = 15000 \;\Longrightarrow\; 5x + y = 15000

10x + 4y - 20x = 0 \;\Longrightarrow\; 4y = 10x \;\Longrightarrow\; y = \frac{5x}{2}

Llevando

y

a la primera:

5x + \frac{5x}{2} = 15000 \;\Longrightarrow\; \frac{15x}{2} = 15000 \;\Longrightarrow\; x = 2000

y entonces

y = \dfrac{5 \cdot 2000}{2} = 5000

z = 4 \cdot 2000 = 8000

.

El sistema es compatible determinado (su determinante de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \\ 10 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 0 - 10 + 16 - 0 + 4 + 20 = 30 \neq 0

), así que esta es la única solución.

Comprobación en el enunciado.

Total: $2000 + 5000 + 8000 = 15000$ ✓.
Si Jimena pierde el 25 % de 8000 (2000 seguidores), le quedan 6000, que es el triple de 2000 ✓.
La mitad de 2000 es 1000 y la quinta parte de 5000 es 1000; suman 2000, que es la cuarta parte de 8000 ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo típico está en la segunda frase: «perder el 25 %» significa quedarse con el 75 %, así que la ecuación es $0{,}75z = 3x$ , no $0{,}25z = 3x$ . Lee despacio qué cantidad se compara.

La corrección da 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada y solo 0,5 como máximo si se resuelve bien un sistema mal planteado: el planteamiento es casi todo el ejercicio.