Distribución normal

Sea $X$ = «nota en Matemáticas II de un alumno elegido al azar», con $X \sim N(\mu = 6{,}5;\ \sigma = 1{,}5)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos el $5$:$$z = \frac{5 - 6{,}5}{1{,}5} = \frac{-1{,}5}{1{,}5} = -1$$$$P(X \geq 5) = P(Z \geq -1)$$La tabla solo da $P(Z \le z)$ con $z \ge 0$. Por la simetría de la normal respecto de $0$, $P(Z \geq -1) = P(Z \leq 1)$, y de la tabla:$$P(X \geq 5) = P(Z \leq 1) = 0{,}8413$$Aprueba el $84{,}13\,\%$ de los alumnos.

b) Buscamos la nota $k$ que deja por debajo el $97{,}50\,\%$ de las notas:$$P(X \leq k) = 0{,}975 \iff P\!\left(Z \leq \frac{k - 6{,}5}{1{,}5}\right) = 0{,}975$$En el interior de la tabla, $0{,}9750$ aparece exactamente en $z = 1{,}96$. Por tanto$$\frac{k - 6{,}5}{1{,}5} = 1{,}96 \iff k = 6{,}5 + 1{,}96\cdot 1{,}5 = 6{,}5 + 2{,}94 = 9{,}44$$Un alumno tiene que sacar más de $9{,}44$ para superar al $97{,}5\,\%$ de las notas.

Comprobación. $P(X \leq 9{,}44) = P\!\left(Z \leq \frac{9{,}44 - 6{,}5}{1{,}5}\right) = P(Z \leq 1{,}96) = 0{,}9750$ ✓. Y tiene sentido: $9{,}44$ está casi dos desviaciones típicas por encima de la media.